各7人ずつの3群で ΣX = 36、17、13、ΣX^2 = 200、59、35（全体は ΣX = 66、ΣX^2 = 294、N = 21）である。一元配置分散分析を行い、効果量 η^2 を報告せよ。

Step-by-step solution

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   修正項を一度だけ計算して使い回す。 一元配置分散分析のどの平方和も、同じ総和の項から組み立てられる：

   $\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=\frac{66^{2}}{21}=\frac{4356}{21}=207.4286$

   一度だけ計算して小数を多めに保持しておけば、$SS_{\text{within}}$ が負になってしまうような丸め誤差の蓄積を防げる。

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   全体の変動。

   $SS_{\text{total}}=\sum X^{2}_{\text{tot}}-\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=294-207.4286=86.5714$

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   群分けによって説明される変動。 各データをその群の平均で置き換えるということで、要約統計量の形では、群ごとの合計を2乗してその群の $n$ で割ることにあたる：

   $SS_{\text{between}}=\sum\frac{\left(\sum X_j\right)^{2}}{n_j}-\frac{\left(\sum X_{\text{tot}}\right)^{2}}{N}=\frac{36^{2}+17^{2}+13^{2}}{7}-207.4286$

   $=\frac{1296+289+169}{7}-207.4286=250.5714-207.4286=43.1429$

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   効果量：群分けが説明する分散の割合。

   $\eta^{2}=\frac{SS_{\text{between}}}{SS_{\text{total}}}=\frac{43.1429}{86.5714}=0.4983\approx0.50$

   厳密な分数では $\frac{302/7}{606/7}=\frac{151}{303}$ である。通常の目安（$0.01$ が小、$0.06$ が中、$0.14$ が大）に照らすと、$0.50$ 程度の $\eta^{2}$ は非常に大きな効果である。得点のばらつきの半分が、参加者がどの群にいたかと結びついている。

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   分散分析表を最後まで埋めて、結果が有意であることを確かめる。 残りの変動は

   $SS_{\text{within}}=86.5714-43.1429=43.4286,\qquad df_{\text{between}}=2,\quad df_{\text{within}}=18$

   $MS_{\text{between}}=\frac{43.1429}{2}=21.571,\qquad MS_{\text{within}}=\frac{43.4286}{18}=2.413$

   $F=\frac{21.571}{2.413}=8.94$

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   $F$ を棄却限界値と比べる。 $df=(2,18)$ では $F_{.05}=3.55$、$F_{.01}=6.01$ である。$8.94$ はどちらも上回るので（正確には $p=0.002$）、3群がすべて同じ母集団から得られたという帰無仮説は $.01$ 水準で棄却される。非常に大きな $\eta^{2}$ とも整合する。群平均そのものは $5.14$、$2.43$、$1.86$ で、差がどこにあるかを示している。