試験の所要時間は平均58分、標準偏差12分の正規分布に従う。90%の学生が終えているのは何分後か。

Step-by-step solution

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   これが逆正規の問題であることを見抜く。 与えられているのは確率で、問われているのは値である。ふだんの「確率を求めよ」とは向きが逆である。式で書けば、

   $P(X \le x) = 0.90, \qquad X \sim N(\mu = 58,\ \sigma = 12)$

   を満たす $x$ を求めることになる。

2. 2

   90パーセンタイルに対応する $z$ 値を調べる。 標準正規分布表または電卓から、

   $z_{0.90} \approx 1.2816$

   （多くの教科書ではこれを $1.28$ に丸める。その違いは最終的な答えを約 $0.02$ 分ずらす。）

3. 3

   $z$ 値をもとの単位に戻す。 $z = \frac{x-\mu}{\sigma}$ を変形すると

   $x = \mu + z\sigma$

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   代入して計算する。

   $x = 58 + 1.2816 \times 12 = 58 + 15.38 = 73.38 \text{ 分}$

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   向きが正しいか確かめる。 90パーセンタイルは平均より上になければならず、実際そうなっている。平均から約 $1.28$ 標準偏差ぶん上である。もし答えが $58$ より小さくなったら、$-z$ を使ってしまっている。