ある調査で25人の顧客の年齢を記録した：20, 32, 35, 28, 32, 31, 30, 15, 28, 12, 39, 23, 43, 47, 27, 26, 23, 32, 36, 33, 35, 42, 42, 43, 47。テューキー法で第1四分位数と第3四分位数を求め、中央値を除いて求めた四分位数と比べよ。

Step-by-step solution

1. 1

   データを並べ替える。どの四分位数の定義も位置についての規則なので、まず順序である。

   $12,\ 15,\ 20,\ 23,\ 23,\ 26,\ 27,\ 28,\ 28,\ 30,\ 31,\ 32,\ \underline{32},\ 32,\ 33,\ 35,\ 35,\ 36,\ 39,\ 42,\ 42,\ 43,\ 43,\ 47,\ 47$

2. 2

   中央値を求める。 $n=25$（奇数）なので中央値はただ1つの真ん中の値で、位置は $\frac{25+1}{2}=13$ 番目である：

   $M=32$

   ここが2つの流儀の分かれ道である。中央値が実際のデータ値なので、それを下側の半分に入れるのか、上側に入れるのか、両方か、どちらでもないのか、という選択が本当に生じる。

3. 3

   テューキーの規則を適用する：中央値は両方の半分に入れる。 テューキーのヒンジは、全体の中央値を含めた下半分と上半分の中央値として定義される。したがって下半分は最初の $13$ 個、上半分は最後の $13$ 個になる：

   $\text{下半分：} 12,\,15,\,20,\,23,\,23,\,26,\,\underline{27},\,28,\,28,\,30,\,31,\,32,\,32$

   $\text{上半分：} 32,\,32,\,33,\,35,\,35,\,36,\,\underline{39},\,42,\,42,\,43,\,43,\,47,\,47$

   どちらの半分も個数が奇数なので、ヒンジはやはり真ん中のただ1つの値、$13$ 個中 $7$ 番目である：

   $Q_1=27,\qquad Q_3=39$

4. 4

   多くの電卓や表計算ソフトが使う排他的な流儀と比べる。 中央値を両方の半分から落とすと各側に $12$ 個ずつ残るので、どちらの四分位数も隣り合う2つの値の平均になる：

   $Q_1=\frac{26+27}{2}=26.5,\qquad Q_3=\frac{39+42}{2}=40.5$

   どちらの答えも「正しい」。計算が違うのではなく定義が違うのである。両者が食い違うのは $n$ が奇数のときだけで、それはデータ値がちょうど中央値の位置に座る唯一の場合だからである。

5. 5

   それぞれの規則で四分位範囲を計算し、その影響を確認する。

   $\text{IQR}_{\text{テューキー}}=39-27=12,\qquad \text{IQR}_{\text{排他的}}=40.5-26.5=14$

   中央値を含めると2つのヒンジが中央側に引き寄せられるので、テューキーの規則で得られる IQR はつねに同じか小さくなる。IQR に基づくもの、たとえば箱ひげ図のひげや $1.5\,\text{IQR}$ の外れ値の境界も、それに応じてずれる。だから報告書にはどちらの流儀を使ったかを明記すべきである。

6. 6

   境界を計算して実際的な影響を見る。 テューキーの値では外れ値の境界は $27-1.5(12)=9$ と $39+1.5(12)=57$、排他的な値では $26.5-1.5(14)=5.5$ と $40.5+1.5(14)=61.5$ になる。このデータでは（最小 $12$、最大 $47$ なので）どちらの規則でも $25$ 個の年齢のうち外れ値と判定されるものはない。したがってこのデータセットでは流儀の選択が結論を変えないが、裾の長いデータなら簡単に変わりうる。