15人の参加者について、トレーニングプログラムの前後で BMI を測定した。実施前：19.24, 20.50, 23.00, 31.90, 22.00, 34.30, 25.80, 23.70, 20.10, 32.40, 25.10, 25.00, 27.67, 23.48, 28.49。実施後：18.50, 19.50, 21.90, 27.00, 21.70, 33.70, 24.80, 22.50, 19.80, 31.20, 23.93, 23.00, 28.99, 24.30, 28.92。有意水準5%で、プログラムが平均 BMI を変えたかどうかを検定せよ。

Step-by-step solution

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   2つの列が独立な標本ではないことを見抜く。 各行は同じ1人を2回測った値なので、「実施前」と「実施後」の数値は対で結びついている。2標本 $t$ 検定を使うとこれらを無関係な $30$ 個の観測として扱うことになり、個人差の大きなばらつき（ここでは BMI が $19$ から $34$ まである）に埋もれてしまう。$15$ 個の差で計算すれば各人のベースラインが相殺され、プログラムの効果だけが残る。だからこそ、対応のある検定の方がはるかに鋭敏になる。

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   差 $d_i=\text{実施前}-\text{実施後}$ を作る。

   $0.74,\;1.00,\;1.10,\;4.90,\;0.30,\;0.60,\;1.00,\;1.20,\;0.30,\;1.20,\;1.17,\;2.00,\;-1.32,\;-0.82,\;-0.43$

   15個のうち12個が正（BMI が下がった）で、3個が負である。仮説は差の平均 $\mu_d$ について立てる：

   $H_0:\mu_d=0,\qquad H_1:\mu_d\neq 0$

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   差の平均と標準偏差を計算する。 差の総和は $382.68-369.74=12.94$ なので、

   $\bar d=\frac{12.94}{15}=0.8627$

   $s_d=\sqrt{\frac{\sum (d_i-\bar d)^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{27.9933}{14}}=1.4140$

   分母は $n$ ではなく $n-1=14$ を使う。標本平均をすでにデータに当てはめてしまっているので、自由に動ける偏差は $14$ 個だけだからである。

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   差の平均を $t$ 統計量に直す。 $\bar d$ の標準誤差は

   $s_{\bar d}=\frac{s_d}{\sqrt n}=\frac{1.4140}{\sqrt{15}}=0.3651$

   $t=\frac{\bar d-0}{s_{\bar d}}=\frac{0.8627}{0.3651}=2.363$

   で、$df=n-1=14$ である。この統計量は要するに「観測された低下は $0$ から標準誤差いくつ分離れているか」である。

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   棄却限界値と比べ、$p$ 値を読む。 自由度 $14$、$\alpha=0.05$ の両側検定では、棄却限界値は $t^{*}=2.145$ である。

   $|t|=2.363>2.145$

   対応する両側 $p$ 値は $p\approx 0.033$ で $0.05$ を下回る。$H_0$ を棄却する。BMI の平均変化は統計的に有意である。

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   $p$ 値だけでは効果の大きさが見えないので、信頼区間も報告する。

   $\bar d\pm t^{*}s_{\bar d}=0.8627\pm 2.145(0.3651)=0.8627\pm 0.7832$

   $\mu_d\ \text{の 95\% 信頼区間}:\;(0.0795,\;1.6458)$

   この区間は $0$ を含まず、検定と同じ結論になる。しかし同時に、低下幅が $0.08$ BMI ポイント程度にすぎない可能性もあることを示している。統計的には検出できても、下限側では臨床的な意味はほとんどない。さらに、1つの群を2回測っただけで対照群がないので、この変化をプログラムだけの効果に帰することはできない。