あるメールシステムでは全メールの20%がスパムである。スパムの70%に「当選」という語が含まれ、正常なメールでは12.5%にしか含まれない。「当選」を含むメールが届いたとき、それがスパムである確率を求めよ。

Step-by-step solution

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   事象に名前を付け、与えられた数値を整理する。 $G$ を「そのメールはスパムである」、$N$ を「そのメールは正常である」、$L$ を「そのメールに 当選 という語が含まれる」とする。与えられているのは

   $P(G)=0.2,\qquad P(N)=0.8$
   $P(L\mid G)=0.7,\qquad P(L\mid N)=0.125$

   向きに注意したい。与えられているのはクラスが分かったときの語の確率だが、問われているのは語が分かったときのクラスの確率である。条件付き確率の向きを逆にすることこそ、ベイズの定理の役割である。

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   求める量についてベイズの定理を書く。

   $P(G\mid L)=\frac{P(L\mid G)\,P(G)}{P(L)}$

   分子はスパムでありかつその語を含む確率、分母はメール全体の中でその語を含む確率である。

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   分母は全確率の定理から求める。 すべてのメールはスパムか正常のどちらかなので、この2つの場合が標本空間を分割する：

   $P(L)=P(L\mid G)P(G)+P(L\mid N)P(N)=0.7\times 0.2+0.125\times 0.8$
   $P(L)=0.14+0.10=0.24$

   つまり約4通に1通がこの語を含む。しかもその大半は、はるかに数の多い正常メールから来ている。

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   代入して既約分数まで整理する。

   $P(G\mid L)=\frac{0.14}{0.24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\approx 0.5833$

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   結果の意味を読み、検算する。 この語が現れることで、スパムである確率は事前確率の $20\%$ から約 $58.3\%$ まで上がる。強い証拠ではあるが確定にはほど遠い。そもそも正常メールの方が4倍多いからである。分かりやすい検算として、仮に $1000$ 通あるとすると、$200$ 通がスパムでうち $140$ 通がこの語を含み、$800$ 通が正常でうち $100$ 通が含む。この語を含む $240$ 通のうち $140$ 通がスパムなので $140/240=7/12$ となり、公式と一致する。