N = 8 の標本で ΣX = 48、ΣX^2 = 351 である。母平均 2.00 に対して検定し、t 値、帰無仮説を棄却するかどうか、効果量を求めよ。

Step-by-step solution

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   標本平均は和からそのまま求まる。

   $\bar X=\frac{\sum X}{N}=\frac{48}{8}=6$

   $t$ 検定に生データは必要ない。$N$、$\sum X$、$\sum X^{2}$ が、検定に使う情報をすべて持っている。

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   平方和の計算用公式を使う。 定義通りの $\sum(X-\bar X)^2$ では個々の得点が必要になるが、代数的に等しい次の形なら不要である：

   $SS=\sum X^{2}-\frac{\left(\sum X\right)^{2}}{N}=351-\frac{48^{2}}{8}=351-288=63$

   $s^{2}=\frac{SS}{N-1}=\frac{63}{7}=9\qquad\Longrightarrow\qquad s=3$

   $N$ ではなく $N-1$ で割ることが $s^2$ を母分散の不偏推定量にしており、同時に自由度を $7$ に定めている。

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   標本標準偏差を標準誤差に直す。 検定統計量は、標本平均がどれだけばらつくかを単位として、平均と $\mu_0$ を比べる：

   $SE=\frac{s}{\sqrt N}=\frac{3}{\sqrt 8}=\frac{3}{2.8284}=1.0607$

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   $t$ 統計量を計算する。

   $t=\frac{\bar X-\mu_0}{SE}=\frac{6-2}{1.0607}=3.771\qquad(df=N-1=7)$

   選択肢の中に $3.77$ に近い値がなければ、正しい答えは「該当なし」である。丸めて隣の選択肢に寄せてはいけない。

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   自由度7での棄却限界値と比べる。 両側検定の棄却限界値は

   $t_{.05}=2.365,\qquad t_{.01}=3.499,\qquad t_{.001}=5.408$

   である。$3.771$ は $2.365$ と $3.499$ を上回るが $5.408$ は超えないので、帰無仮説は有意水準 .05 と .01 では棄却され、.001 では棄却されない。正確な両側 $p$ 値は $0.0070$ で、$.01$ と $.001$ の間にあり、この比較の予測どおりである。

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   有意性だけでは分からない効果量を報告する。 1標本検定では、Cohen の $d$ が標準偏差を単位とした隔たりを表す：

   $d=\frac{\bar X-\mu_0}{s}=\frac{6-2}{3}=1.33$

   通常の目安（$0.2$ が小、$0.5$ が中、$0.8$ が大）に照らすと、これは大きな効果である。$d$ が使うのは $SE$ ではなく $s$ であることに注意したい。$3$ ではなく $1.0607$ で割ってしまえば、それは $t$ 値を再現するだけである。