袋の中に赤玉が3個、白玉が5個入っている。同時に2個を無作為に取り出すとき、両方とも赤である確率を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   順序を区別すべきかどうかを決める。 2個は同時に取り出されるので、1回の試行の結果は順序のない玉の組である。組合せで順序のない組を数えれば、分子と分母の数え方がそろう。両方で同じようにやるかぎり、順序を区別して数えても答えは同じになる。

2. 2

   同様に確からしい結果をすべて数える。 袋には $3+5=8$ 個の玉があり、異なる2個の組はどれも同様に確からしいので、標本空間の要素数は

   $\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$

   である。

3. 3

   当たりの場合を数える。 2個とも赤ということは、$3$ 個の赤玉から $2$ 個を選ぶということである：

   $\binom{3}{2}=3$

   白玉は分母を膨らませる以外の役割を果たしていない。

4. 4

   割って確率を出す。

   $P(\text{2個とも赤})=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{3}{28}\approx 0.107$

   $\boxed{\dfrac{3}{28}}$

5. 5

   逐次的な方法（乗法定理）で確認する。 1個ずつ引くとする。1個目が赤である確率は $\tfrac{3}{8}$ で、そのもとで残る赤玉は $7$ 個中 $2$ 個なので、2個目が赤である確率は $\tfrac{2}{7}$ である：

   $\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$

   一致することは、玉を戻さない試行として扱えているかどうかの良い確認になる。戻す場合の答えは $\left(\tfrac{3}{8}\right)^2=\tfrac{9}{64}$ となり、目に見えて大きくなる。