連続型確率変数 X の密度が 0 < x ≤ 1 で f(x) = x、1 ≤ x < 2 で f(x) = 2 - x、それ以外で 0 である。E(X) と Var(X) を求めよ。

Step-by-step solution

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   $f$ が本当に密度関数であることを確認する。 正しい確率密度関数は非負で、積分が $1$ になる：

   $\int_0^1x\,dx+\int_1^2(2-x)\,dx=\frac12+\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac12+\left(2-\frac32\right)=\frac12+\frac12=1$

   図形的には底辺 $2$、高さ $1$ の三角形で、面積は $\frac12\cdot2\cdot1=1$ である。最初にこれを確かめておくのは、写し間違いに対する安上がりな保険になる。

2. 2

   $E(X)$ を区分ごとに計算する。 密度が2つの区分で定義されているので、期待値の積分も $x=1$ で分かれる：

   $E(X)=\int_0^1x\cdot x\,dx+\int_1^2x(2-x)\,dx=\int_0^1x^{2}dx+\int_1^2\left(2x-x^{2}\right)dx$

   $=\frac13+\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_1^2=\frac13+\left(\frac43-\frac23\right)=\frac13+\frac23=1$

3. 3

   使えたはずの近道に気づく。 この三角形は $x=1$ について対称である。$0\le u\le1$ に対して $f(1-u)=1-u$、$f(1+u)=1-u$ が成り立つ。ある点について対称な密度では平均はその点そのものなので、積分せずとも $E(X)=1$ が分かる。上の積分は、そう考えれば検算にすぎない。

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   $E(X^{2})$ を計算する。こちらは対称性からは出てこない。

   $E(X^{2})=\int_0^1x^{3}dx+\int_1^2x^{2}(2-x)\,dx=\frac14+\left[\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_1^2$

   角括弧の中を $2$ で評価すると $\frac{16}{3}-4=\frac43$、$1$ で評価すると $\frac23-\frac14=\frac{5}{12}$ である。よって2つ目の積分は $\frac43-\frac{5}{12}=\frac{11}{12}$ となり、

   $E(X^{2})=\frac14+\frac{11}{12}=\frac{3}{12}+\frac{11}{12}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}$

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   分散の公式を使う。

   $D(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}=\frac76-1^{2}=\frac{7}{6}-\frac{6}{6}=\frac16\approx0.1667$

   標準偏差は $\sqrt{1/6}=0.408$ である。

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   答えが妥当か確かめる。 確率はすべて長さ $2$ の区間 $(0,2)$ に載っているので、標準偏差は $1$ をかなり下回るはずで、$0.408$ は納得できる。また $(0,2)$ 上の一様分布の $0.577$ より小さいのも当然である。三角形の密度は、確率を一様に広げるのではなく中心付近に集めているからである。