60枚のデッキに A の印が付いたカードが5枚、それとは別に B の印が付いたカードが23枚ある。無作為に5枚を戻さずに引くとき、A と B が少なくとも1枚ずつ含まれる確率を求めよ。

Step-by-step solution

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   互いに交わらない3つのグループを数える。 印は重複しないので、デッキは次のように分かれる：

   $5\ \text{枚がA印},\qquad 23\ \text{枚がB印},\qquad 60-5-23=32\ \text{枚が無印}$

   この後の数え上げはすべて、これらの山のどれかから $5$ 枚を選ぶことになる。同様に確からしい手札の総数は

   $\binom{60}{5}=5{,}461{,}512$

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   余事象に切り替える。「少なくとも1枚…かつ少なくとも1枚…」は正面から数えると苦しい。 A が $1$ 枚、$2$ 枚、$3$ 枚…と数えながら同時に B も追いかけると、二重の和になってしまう。代わりに

   $A=\{\text{A が少なくとも1枚}\},\qquad B=\{\text{B が少なくとも1枚}\}$

   と置き、余事象に包除原理を適用する：

   $P(A\cap B)=1-P(A^c\cup B^c)=1-P(A^c)-P(B^c)+P(A^c\cap B^c)$

   3つの余事象はどれも1つの限られた山から引いた手札を表すので、それぞれ二項係数1個で書ける。$+P(A^c\cap B^c)$ の項は欠かせない。どちらの印もない手札は2回引かれてしまっているので、1回だけ足し戻す必要がある。

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   A を含まない手札を数える。 これは A 以外の $60-5=55$ 枚から選ぶ：

   $P(A^c)=\frac{\binom{55}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{3{,}478{,}761}{5{,}461{,}512}=0.63696$

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   B を含まない手札を数える。 これは B 以外の $60-23=37$ 枚から選ぶ：

   $P(B^c)=\frac{\binom{37}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{435{,}897}{5{,}461{,}512}=0.07981$

   この確率が小さいことは予想どおりの妥当性確認になる。$60$ 枚中 $23$ 枚が B なのだから、5枚引いてそのすべてを外すのは起こりにくいはずである。

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   どちらの印もない手札を数える。 これは無印の $32$ 枚だけから選ぶ：

   $P(A^c\cap B^c)=\frac{\binom{32}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{201{,}376}{5{,}461{,}512}=0.03687$

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   まとめる。 4つの数え上げを共通の分母 $\binom{60}{5}$ に載せると：

   $P(A\cap B)=\frac{5{,}461{,}512-3{,}478{,}761-435{,}897+201{,}376}{5{,}461{,}512}=\frac{1{,}748{,}230}{5{,}461{,}512}$

   $P(A\cap B)=0.32010\approx32.0\%$

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   おおまかな見込みと照らして結果を確かめる。 A を少なくとも1枚引く確率だけなら $1-0.63696=0.36304$、B を少なくとも1枚引く確率だけなら $1-0.07981=0.92019$ である。2つの事象が独立なら積は $0.36304\times0.92019=0.33406$ になるが、真の答え $0.32010$ はそれよりわずかに小さい。これはまさに正しい振る舞いで、2つの事象はわずかに負の相関をもつ。5枚の枠のうち A が占めた分は、B が入れない枠だからである。