n = 278 の標本の標本平均が 8.83、標本標準偏差が 41.40 である。母平均に対する95%信頼区間を求めよ。

Step-by-step solution

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   正しい区間の公式を選ぶ。 母標準偏差 $\sigma$ は未知で、標本から推定されているので、正しいのは $t$ 信頼区間

   $\bar x\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt n}$

   であり、自由度は $n-1=277$ である。$n=278$ と標本が大きいので、もとのデータが正規分布に従わなくても中心極限定理によって区間は有効になる。これは実際に効いてくる点で、$s=41.40$ は平均のほぼ5倍もあり、かなり歪んだ変数であることを強く示唆している。

2. 2

   平均の標準誤差を計算する。 これは標本を取り直したときに $\bar x$ 自身がどれだけばらつくかを表す：

   $SE=\frac{s}{\sqrt n}=\frac{41.40}{\sqrt{278}}=\frac{41.40}{16.6733}=2.4830$

   分母に $\sqrt n$ があるからこそ大きな標本が効いてくる。生のばらつき $41.40$ が約 $17$ 分の1に縮んでいる。

3. 3

   $95\%$ 信頼度に対する臨界値を調べる。 $95\%$ 信頼度では $\alpha=0.05$ で、両側にそれぞれ $0.025$ ずつ配分される。$df=277$ のとき、

   $t_{0.025,\,277}=1.9686$

   これは正規分布の値 $z_{0.025}=1.9600$ をほんのわずか上回るだけである。自由度が数百もある $t$ 分布は標準正規分布とほとんど区別がつかないからである。ここで $z$ を使うのも許容できる近道だが、$\sigma$ を推定している場合は $t$ を使うのが技術的に正しい。

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   掛けて誤差の限界を求める。

   $ME=t\cdot SE=1.9686\times2.4830=4.8880$

   丸めるのは最後だけにすること。先に $SE$ を $2.48$ に丸めると、区間の端点が小数第3位でずれてしまう。

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   区間を組み立てる。

   $\bar x\pm ME=8.83\pm4.888\;\Longrightarrow\;(8.83-4.888,\;8.83+4.888)=(3.942,\;13.718)$

   小数第2位まで報告すると、$\mu$ に対する $95\%$ 信頼区間は $(3.94,\;13.72)$ である。参考までに $z$ を使った区間は $(3.96,\;13.70)$ で、この標本サイズなら当然ながら百分の2以内で一致する。

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   解釈を間違えない。 この主張は手続きについてのものであって、いま得た1つの区間についてのものではない。標本抽出を何度も繰り返せば、この方法で作った区間の $95\%$ が真の平均 $\mu$ を含む、ということである。データの $95\%$ が $(3.94,13.72)$ に入る、と言うのは誤りである。データのばらつきを決めるのは $s=41.40$ で、この区間のおよそ17倍の幅があり、区間が表しているのは平均の不確かさだけだからである。