箱に赤玉6個と青玉6個が入っている。同時に6個取り出すとき、そのうち赤が2個以上である確率を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   標本空間を数える。 玉は同時に取り出されるので順序は関係なく、$12$ 個から $6$ 個を選ぶどの組も同様に確からしい：

   $\binom{12}{6}=924.$

2. 2

   5通りを別々に数える代わりに余事象を使う。 「赤が $2$ 個以上」は $2,3,4,5,6$ 個の場合を含み、数えるべき場合が5通りある。その余事象は $0$ 個か $1$ 個の2通りだけである。そこで

   $P(\text{赤が }2\text{ 個以上})=1-P(\text{赤が0個})-P(\text{赤が1個}).$

   を計算する。「少なくとも $k$ 個」で反対側の場合の数が少なくて済むときは、余事象の方が近道である。

3. 3

   赤玉が1個もない場合を数える。 取り出した6個がすべて青でなければならず、青玉はちょうど $6$ 個なので、そのような組は1通りしかない：

   $\binom{6}{0}\binom{6}{6}=1\cdot 1=1.$

4. 4

   赤玉がちょうど1個の場合を数える。 $6$ 個の赤から $1$ 個、$6$ 個の青から $5$ 個を選ぶ。2つの選び方は独立なので掛け合わせる：

   $\binom{6}{1}\binom{6}{5}=6\cdot 6=36.$

   合わせると、余事象は $924$ 通りのうち $1+36=37$ 通りである。

5. 5

   引き算して答えを出す。

   $P=1-\frac{37}{924}=\frac{924-37}{924}=\frac{887}{924}\approx 0.9600.$

   この分数はすでに既約である（$924=2^{2}\cdot 3\cdot 7\cdot 11$ は素数 $887$ と共通因数をもたない）。$924$ 通りをすべて数え上げても、赤が2個以上のものは $887$ 通りで結果が裏づけられる。確率が $96\%$ 近くになるのも納得できる。箱の半分を取り出しながら片方の色をほとんど避け切るのは、非常に起こりにくいからである。