36区画の土地の標本で、平均48.00エーカー、標準偏差46.44、最小値7、Q1 18.02、中央値32.50、Q3 57.48、最大値248である。分布が左右対称か歪んでいるかを判断し、1.5×IQR ルールで外れ値を調べよ。

Step-by-step solution

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   (a) 平均と中央値を比べる。 左右対称な分布では両者はほぼ一致する。ここでは

   $\text{平均}-\text{中央値}=48.00-32.50=15.50$

   であり、四分位範囲の広がりに比べて大きい。平均が中央値より上に引っ張られており、これは右に歪んだ（正の歪みをもつ）分布の特徴である。

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   (a) 両端までの距離でも確かめる。 最大値は中央値より $248-32.50=215.5$ 上にあるのに対し、最小値は $32.50-7=25.5$ 下にあるだけである。右の裾が長く、左の裾が短い。標準偏差 $46.44$ が平均とほぼ同じ大きさであることも、非負で歪んだデータの典型的な特徴である。

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   (b) 四分位範囲を計算する。 IQR はデータの真ん中半分の広がりを測る量で、標準偏差と違い、いま調べようとしている極端な値によって自身が膨らむことがない：

   $IQR=Q_3-Q_1=57.48-18.02=39.46$

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   (b) 2つの境界を作る。 $1.5\times IQR$ ルールは、四分位数から四分位範囲の1.5倍だけ外側に境界を置く：

   $1.5\times IQR=1.5\times39.46=59.19$

   $\text{下側境界}=Q_1-59.19=18.02-59.19=-41.17$
   $\text{上側境界}=Q_3+59.19=57.48+59.19=116.67$

   負になり得ない量に対して下側境界が負になるのはごく普通のことで、小さい側には外れ値になり得る値が存在しないという意味にすぎない。

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   (b) 極端な値を境界と照らす。 最小値 $7$ は下側境界 $-41.17$ の十分内側にあるので、小さい側に外れ値はない。最大値 $248$ は上側境界 $116.67$ をはるかに超えており、$Q_3$ より四分位範囲 $4.8$ 個分以上も上にあるので、大きい側に少なくとも1つ外れ値がある。

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   (c) 要約統計量では分からないことを述べる。 5数要約は箱（$Q_1$、中央値、$Q_3$）を決め、$248$ を個別の外れ値として打つべきことも示す。しかし分からないのは上側のひげがどこで止まるかである。ひげは $116.67$ より下にある観測値のうち最大のものまで伸ばさなければならないが、その値は表に載っていない。したがって個々のデータの値（少なくとも外れ値でない最大の値）が必要になる。$116.67$ と $248$ の間に他の値があるかどうかについても、同じことが言える。