ある交通調査は、事故が十字路・Y字路・T字路で 3:2:1 の比で起こると予測した。交通量の等しい交差点で起きた 200 件の事故の観測度数は 116、60、24 であった。この予測をカイ二乗検定せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   適切な検定を選ぶ。 カテゴリ変数は1つ（交差点の種類）だけで、それを理論分布と比べるのであって、2つの変数をクロス集計しているわけではない。したがってこれはカイ二乗適合度検定であり、独立性の検定ではない。この区別が効くのは、自由度が $(r-1)(c-1)$ ではなく $k-1$ に決まるからである。

2. 2

   比から期待度数を作る。 合計は $116+60+24=200$ で、$3:2:1$ は全体を6等分して割り振ることを意味する：

   $E_1=200\cdot\tfrac{3}{6}=100,\qquad E_2=200\cdot\tfrac{2}{6}=66.\overline{6},\qquad E_3=200\cdot\tfrac{1}{6}=33.\overline{3}.$

   どの期待度数も $5$ を超えているので、カイ二乗近似を使って差し支えない。$66.67$、$33.33$ と丸めず $\tfrac{200}{3}$、$\tfrac{100}{3}$ という分数のまま扱うこと。丸めると統計量に誤差が入り込む。

3. 3

   各セルの $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ への寄与を計算する。

   $\frac{(116-100)^2}{100}=\frac{256}{100}=2.56,\qquad \frac{\left(60-\tfrac{200}{3}\right)^2}{\tfrac{200}{3}}=\frac{400/9}{200/3}=\frac{2}{3},\qquad \frac{\left(24-\tfrac{100}{3}\right)^2}{\tfrac{100}{3}}=\frac{784/9}{100/3}=\frac{196}{75}.$

4. 4

   足し合わせる。 分母を $75$ にそろえると：

   $\chi^2=\frac{192}{75}+\frac{50}{75}+\frac{196}{75}=\frac{438}{75}=\frac{146}{25}=5.84.$

   この値は丸めた結果ではなく、ちょうど $5.84$ である。期待度数が最も小さいT字路のカテゴリが、ずれの絶対値は十字路の超過より小さいのに最大の寄与（$2.613$）をしていることに注目したい。これが $1/E$ という重み付けの効果である。

5. 5

   棄却限界値と比べる。 カテゴリ数が $k=3$ なので $df=k-1=2$。有意水準 $\alpha=0.05$ での棄却限界値は $\chi^2_{0.05,2}=5.991$ である。$df=2$ のときは $p$ 値が閉じた形で書けて、$p=e^{-\chi^2/2}=e^{-2.92}\approx 0.054$ となる。

6. 6

   結論を述べる。 $5.84<5.991$（同じことだが $p\approx 0.054>0.05$）なので、帰無仮説は棄却できない。観測度数は予測された $3:2:1$ の比と矛盾しない。ただし差はぎりぎりなので、より大きな標本を集める価値はある。