方程式求解器

方程式是一個數學陳述，斷言兩個算式相等，並以 $=$ 符號連接：

$\text{left side} = \text{right side}$

求解方程式是指找出所有使該陳述成立的變數值。這些值稱為解或根。

方程式有許多類型：

• 一次：$3x + 2 = 11$
• 二次：$x^2 - 4x + 3 = 0$
• 有理：$\frac{x+1}{x-2} = 3$
• 根式：$\sqrt{2x+1} = x - 1$
• 指數：$2^x = 32$
• 對數：$\log_2(x) = 5$
• 絕對值：$|3x - 2| = 7$
• 三角：$\sin(x) = \frac{1}{2}$

這個通用型求解器可處理上述所有類型以及更多，並根據方程式的結構選擇合適的方法。不同於專用型求解器（只解一次或只解二次），本工具會辨識方程式類型並自動套用最佳策略。

1. 有理方程式

兩邊同乘最小公分母（LCD），求解所得到的多項式，然後檢查增根（使某個分母為零的值）。

範例：$\frac{x+1}{x-2} = 3$

1. 兩邊同乘 $(x-2)$：$x + 1 = 3(x-2)$
2. $x + 1 = 3x - 6$ → $-2x = -7$ → $x = \frac{7}{2}$
3. 檢查：$x = \frac{7}{2} \neq 2$ ✓

2. 根式方程式

孤立根式，然後兩邊平方（或升至適當次方）。務必驗證解。

範例：$\sqrt{2x+1} = x - 1$

1. 兩邊平方：$2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. 整理：$x^2 - 4x = 0$ → $x(x-4) = 0$ → $x = 0$ 或 $x = 4$
3. 檢查 $x = 0$：$\sqrt{1} = -1$？不成立！增根。
4. 檢查 $x = 4$：$\sqrt{9} = 3$ ✓

3. 指數方程式

若底數可以配對，則令指數相等。否則，取對數。

範例：$2^x = 32 = 2^5$ → $x = 5$

4. 絕對值方程式

拆成兩種情況：括號內的算式等於 $+c$ 或 $-c$。

範例：$|3x - 2| = 7$

• 情況 1：$3x - 2 = 7$ → $x = 3$
• 情況 2：$3x - 2 = -7$ → $x = -\frac{5}{3}$

5. 對數方程式

轉換為指數形式，或用對數性質合併。

範例：$\log_2(x) = 5$ → $x = 2^5 = 32$

• 未檢查增根：兩邊平方或乘以含變數的算式可能引入假解。務必代回原始方程式驗算。
• 忘記定義域限制：對數需要正的真數；平方根需要非負的被開方數；分數需要非零的分母。
• 絕對值漏解：$|x| = 5$ 有兩個解（$x = 5$ 與 $x = -5$）。不要忘記負值情況。
• 錯誤的對數／指數運算：$\log(a+b) \neq \log(a) + \log(b)$。和的對數並不等於對數的和。
• 未確認是否為零便除以變數：若兩邊同除以 $x$，可能會遺失解 $x = 0$。