不等式詳解：一元一次、複合、一元二次

不等式看起來和方程式一模一樣，直到你撞上那條讓你半夜驚醒的規則：當你乘以或除以一個負數時，不等號方向會翻轉。本指南會帶你走過一元一次、複合與一元二次不等式，以及能解決 95% 作業的那些套路。

那條人人都會忘記的規則

對方程式而言：每個運算都保持等式不變。$5 = 5$ 推出 $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$——兩邊同樣取負，等式仍成立。

對不等式而言：將兩邊乘以或除以一個負數會翻轉方向。$5 > 3$ 為真，但兩邊同乘 $-1$ 就得到 $-5 > -3$，這是假的。修正後的式子是 $-5 < -3$。

這一條規則是大多數不等式錯誤的根源。把它燒進你的反射裡：

• 加上／減去任何東西 → 不翻轉。
• 乘以／除以正數 → 不翻轉。
• 乘以／除以負數 → 翻轉不等號。

一元一次不等式

像解一元一次方程式那樣解，留意正負號翻轉。

範例 1：$3x + 5 > 14$。

• 減 5：$3x > 9$。
• 除以 $3$（正數，不翻轉）：$x > 3$。
• 解集：$(3, \infty)$——開括號表示 $x = 3$ 不包含在內。

範例 2（含翻轉）：$-2x + 7 \leq 1$。

• 減 7：$-2x \leq -6$。
• 除以 $-2$（負數——翻轉）：$x \geq 3$。
• 解集：$[3, \infty)$——方括號是因為 $\leq$，包含 $3$。

複合不等式

「複合」不等式用 AND 或 OR 把兩個簡單不等式連起來。

AND 常寫成單一連鎖式：$-1 < 2x + 3 \leq 7$。同時對三個部分做運算。

• 各處減 3：$-4 < 2x \leq 4$。
• 各處除以 2：$-2 < x \leq 2$。
• 解：$(-2, 2]$。

OR 保持為兩個分開的不等式。解是兩個個別解集的聯集：

$x < -3$ 或 $x > 5$ → 解 $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$。

一元二次不等式

對於 $x^2 + bx + c > 0$（或任何 $\neq 0$ 的不等式）：

1. 求根：$x^2 + bx + c = 0$。
2. 標出這些根在數線上——它們把數線分成若干區間。
3. 代測一點到每個區間，看二次式在那裡是正還是負。
4. 挑出符合不等號方向的區間。

範例：$x^2 - 5x + 6 > 0$。

• 因式分解：$(x - 2)(x - 3) > 0$。根在 $x = 2$ 和 $x = 3$。
• 測試區間：
  • $x = 0$：$(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
  • $x = 2.5$：$(0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗
  • $x = 4$：$(2)(1) = 2 > 0$ ✓
• 解：$(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$。

對於 $\leq$ 或 $\geq$ 不等式，要把根包含進去（閉區間）：$(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$。

在數線上畫出解

• 空心圈（○）標在不包含的值（$<$ 或 $>$）。
• 實心圈（●）標在包含的值（$\leq$ 或 $\geq$）。
• 箭頭沿解的方向延伸至無窮。

複合 AND → 兩個圈之間用括弧。複合 OR → 兩條向外延伸的射線。

含絕對值的不等式

$|x - a| < b$ 展開為 $-b < x - a < b$，即 $a - b < x < a + b$——一個有界區間。

$|x - a| > b$ 展開為 $x - a < -b$ 或 $x - a > b$，即 $x < a - b$ 或 $x > a + b$——兩條向外延伸的射線。

常見錯誤

1. 除以負數時忘記翻轉。不等式答案出錯最大的單一來源。
2. 端點包含錯誤。$<$ 與 $\leq$ 有差別——你用哪種括號取決於它。
3. 把複合 AND 當成等號。$-2 < x < 5$ 是單一陳述；你不能把它拆成「$x = -2$ 或 $x = 5$」。
4. 像解方程式一樣解一元二次不等式。把 $x^2 - 4 > 0$「設為零」會得到根 $\pm 2$；不等式的解不是 $\{-2, 2\}$，而是它們之間／周圍的區間。

自己動手試試

把任意不等式（一元一次、複合、一元二次、含絕對值）丟進我們的免費不等式求解器——AI 會正確地翻轉正負號並顯示每一個步驟，還附上數線解圖。

相關資料：

• 術語表：不等式
• 術語表：絕對值
• 二次方程式計算器——與不等式版本搭配使用