不等式求解器

不等式是一個數學陳述，使用以下其中一種符號比較兩個算式：

• $<$（小於）
• $>$（大於）
• $\leq$（小於或等於）
• $\geq$（大於或等於）

不同於方程式（其問題為「哪些值使兩邊相等？」），不等式問的是「哪些值使一邊大於（或小於）另一邊？」

例如，不等式：

$2x - 5 > 3$

問的是：對於哪些 $x$ 的值，$2x - 5$ 大於 $3$？

不等式的解通常是一個值的範圍（一個區間），而非單一數字。解常以區間表示法表示：

• $(a, b)$：所有嚴格介於 $a$ 與 $b$ 之間的值
• $[a, b]$：所有從 $a$ 到 $b$（含端點）的值
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$：所有小於 $a$ 或大於 $b$ 的值

不等式在最佳化、限制條件問題，以及判定函數的定義域與值域時是基本工具。

1. 一次不等式

如同求解一次方程式般處理，但有一個關鍵規則：當乘以或除以負數時，要將不等號方向反轉。

範例：求解 $2x - 5 > 3$

1. 加 5：$2x > 8$
2. 除以 2：$x > 4$

解：$(4, \infty)$

含反轉的範例：求解 $-3x + 6 \leq 12$

1. 減 6：$-3x \leq 6$
2. 除以 $-3$（反轉！）：$x \geq -2$

2. 二次不等式

先求解對應的方程式，再測試區間。

範例：求解 $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. 因式分解：$(x - 5)(x + 1) > 0$
2. 臨界點：$x = -1$ 與 $x = 5$
3. 測試區間：
   • $x < -1$：$(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$：$(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$：$(+)(+) = (+) > 0$ ✓

解：$(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. 有理不等式

找出分子與分母為零之處（臨界點），再測試每個區間的正負號。切勿兩邊同乘可能為負的算式。

4. 絕對值不等式

• $|x| < a$ 表示 $-a < x < a$
• $|x| > a$ 表示 $x < -a$ 或 $x > a$

5. 正負號表法

對於多項式／有理不等式，建立正負號表，顯示每個因式在各區間中的正負號。

• 忘記反轉不等號：當你兩邊同乘或同除以負數時，必須反轉不等號方向。
• 臨界點納入錯誤：對於嚴格不等式（$<$、$>$），臨界點不包含。對於 $\leq$ 或 $\geq$，則包含。
• 未考慮變數正負便乘以變數：若兩邊同乘 $x$，必須分別考慮 $x > 0$ 與 $x < 0$ 的情況。
• 錯誤處理複合不等式：對於 $a < f(x) < b$，要同時求解兩部分，而非各自獨立。
• 以錯誤表示法寫解：嚴格不等式用小括號，包含端點則用中括號。