多項式方程式求解器

多項式方程式是以下形式的方程式：

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$

其中 $n$ 是稱為次數的正整數，$a_n \neq 0$，且 $a_0, a_1, \ldots, a_n$ 為常數（係數）。

多項式依次數分類：

• 1 次：一次（$ax + b = 0$）
• 2 次：二次（$ax^2 + bx + c = 0$）
• 3 次：三次（$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$）
• 4 次：四次（$ax^4 + \cdots = 0$）
• 5 次及以上：五次及更高

代數基本定理指出，$n$ 次多項式在複數範圍內恰有 $n$ 個根（計入重根）。例如，三次方程式總有 3 個根，可能為實根或複數根。

更高次的多項式方程式出現在物理（拋體運動、振盪）、工程（控制系統）、經濟（最佳化）以及電腦圖學（曲線交點）中。

不同於二次式，沒有單一公式適用於所有更高次的多項式。以下是主要策略：

1. 有理根定理

對於整係數的 $a_n x^n + \cdots + a_0 = 0$，任何有理根 $\frac{p}{q}$ 都必須滿足：

• $p$ 整除 $a_0$（常數項）
• $q$ 整除 $a_n$（首項係數）

測試候選值並使用綜合除法降低次數。

範例：$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

• 可能的有理根：$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
• 測試 $x = 1$：$1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
• 除去 $(x - 1)$ 得到 $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

2. 分組因式分解

將各項重新排列成共有公因式的組。

範例：$x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x+1) - 4(x+1) = (x^2-4)(x+1) = (x+2)(x-2)(x+1)$

3. 代換（偽二次式）

若只出現偶次方，令 $u = x^2$：

範例：$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ → 令 $u = x^2$：$u^2 - 5u + 4 = 0$ → $(u-1)(u-4) = 0$

所以 $x^2 = 1$ 或 $x^2 = 4$，得 $x = \pm 1, \pm 2$。

4. 綜合除法

一旦找到一個根 $r$，便除以 $(x - r)$ 降低多項式的次數，然後重複。

5. 笛卡兒符號法則

計算 $f(x)$ 與 $f(-x)$ 中的符號變化次數，以判斷正實根與負實根的最大個數。

• 忘記複數根：$n$ 次多項式在 $\mathbb{C}$ 上總有 $n$ 個根。若你只找到實根，複數根會成共軛對出現。
• 遺漏重根：$x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$，其中 $x = 1$ 為二重根。
• 有理根候選清單不完整：檢查 $a_0$ 的因數與 $a_n$ 的因數的所有組合。
• 綜合除法中的算術錯誤：仔細複查每一步——一個錯誤的數字會貫穿整個計算。
• 假設所有根都是有理數：許多多項式有無理根或複數根，僅靠有理根定理無法找到。