一次方程式計算機

一次方程式是單一變數的一次多項式方程式，其一般形式為：

$ax + b = 0$

其中 $a$ 與 $b$ 為常數，且 $a \neq 0$。「一次」（linear）一詞源自此類方程式的圖形為一條直線這項事實。

更一般地，單變數一次方程式可以呈現為：

$ax + b = cx + d$

它總能整理成標準形式。其解就是使方程式兩邊相等的 $x$ 值。

一次方程式是代數的基礎，在現實生活中無處不在——從計算成本與距離，到單位換算與平衡預算。它們總是恰有一個解（假設 $a \neq 0$），這使它們成為最容易求解的方程式類型。

一次方程式的關鍵特徵：

• 變數 $x$ 只出現在一次方（沒有 $x^2$、$\sqrt{x}$ 等）
• 圖形永遠是一條直線
• 恰有一個解
• 永遠可以在有限步代數運算內求解

求解一次方程式是指將變數孤立在一邊。以下是主要的作法：

1. 基本孤立法

對於 $ax + b = c$ 形式的方程式：

1. 兩邊減 $b$：$ax = c - b$
2. 兩邊除以 $a$：$x = \frac{c - b}{a}$

範例：求解 $3x + 7 = 22$

• $3x = 22 - 7 = 15$
• $x = \frac{15}{3} = 5$

2. 兩邊皆有變數

對於像 $ax + b = cx + d$ 的方程式：

1. 將所有含變數的項移到一邊：$(a - c)x + b = d$
2. 將常數移到另一邊：$(a - c)x = d - b$
3. 相除：$x = \frac{d - b}{a - c}$

範例：求解 $4x - 3 = 2x + 9$

• $4x - 2x = 9 + 3$
• $2x = 12$
• $x = 6$

3. 含括號的方程式

先展開，再合併同類項：

範例：求解 $5(x - 2) = 3x + 4$

• $5x - 10 = 3x + 4$
• $2x = 14$
• $x = 7$

4. 含分數的方程式

兩邊同乘 LCD 以消去分數：

範例：求解 $\frac{x}{3} + 2 = 7$

• 乘以 3：$x + 6 = 21$
• $x = 15$

• 忘記對兩邊都做運算：對一邊做的任何運算，都必須對另一邊也做。
• 移項時的正負號錯誤：把 $+5$ 移到另一邊時，它會變成 $-5$，而不是 $+5$。
• 未正確展開：$3(x - 4) = 3x - 12$，而非 $3x - 4$。
• 除以零：如果最後得到 $0x = 5$，方程式無解；如果 $0x = 0$，則有無限多解。
• 忘記化簡分數：務必把最終答案約分至最簡。