聯立方程式求解器

聯立方程式（也稱為同時方程式）是一組兩個以上、含有相同變數且必須同時成立的方程式。其解是使每個方程式同時為真的一組值。

兩個雙未知數的線性聯立方程式具有以下形式：

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

幾何上，每個方程式代表平面上的一條直線。其解是兩直線的交點。

聯立方程式可能有：

• 唯一解：兩直線恰相交於一點（相容且獨立）。
• 無解：兩直線平行（不相容）。
• 無限多解：兩直線完全重合（相容且相依）。

聯立方程式出現在無數應用中：混合問題、電路分析、供需均衡、交通流量與最佳化。含 3 個以上變數的較大方程組出現在工程與資料科學中。

1. 代入法

解出其中一個方程式中的某個變數，再代入另一個方程式。

範例：求解 $\begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$

1. 由方程式 1：$x = y + 1$
2. 代入方程式 2：$2(y + 1) + 3y = 7$
3. $2y + 2 + 3y = 7$ → $5y = 5$ → $y = 1$
4. 回代：$x = 1 + 1 = 2$

2. 消去法

將方程式相加或相減以消去一個變數。

範例：求解 $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

1. 將方程式 2 乘以 3：$3x - 3y = 3$
2. 與方程式 1 相加：$5x = 10$ → $x = 2$
3. 回代：$2 - y = 1$ → $y = 1$

3. 矩陣法（高斯消去法）

將方程組寫成增廣矩陣並做列運算化簡：

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 7 \\ 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$

4. 克拉瑪公式

對於 $2 \times 2$ 方程組，若 $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$：

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

5. 作圖法

畫出每個方程式並找出交點。

• 代入錯誤：代入算式時，要在變數出現的每一處都替換，並使用括號。
• 只乘方程式的一部分：相乘以消去時，每一項（含常數）都必須相乘。
• 正負號弄錯：消去過程中遇到負係數要格外小心。
• 過早判定無解：得到 $0 = 0$ 表示有無限多解（相依方程組），而非無解。只有 $0 = c$（其中 $c \neq 0$）才表示無解。
• 忘記求出所有變數：找到一個變數後，務必回代求出其餘變數。