連鎖律：何時以及如何運用（附範例）

連鎖律是微分中使用最頻繁的工具，也是最大的錯誤來源。一旦你內化了「先外後內」的模式，幾乎任何複合函數都能在三行內微分完成。本指南會展示這個模式，帶你走過七個逐漸加難的範例，並列出四個值得事先背熟的錯誤。

連鎖律怎麼說

若 $f$ 與 $g$ 可微，則複合函數 $f(g(x))$ 的導數為

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

用文字說：把外函數在內函數處求值後微分，再乘以內函數的導數。「外」與「內」的標籤不容混淆，搞反了答案就會錯。

一個有用的口訣：連鎖律是「外導數乘以內導數」，永遠不是相加，也永遠不只一個。

解題範例（易 → 難）

範例 1：$\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• 外：$\sin(u)$，內：$u = 2x$。
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$，$\frac{d}{dx}(2x) = 2$。
• 結果：$\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$。

範例 2：$\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• 外：$e^u$，內：$u = x^2$。
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$，$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$。
• 結果：$e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$。

範例 3：$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• 外：$u^4$，內：$u = 3x^2 + 1$。
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$，$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$。
• 結果：$4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$。

範例 4：$\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• 外：$\ln u$，內：$u = \cos x$。
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$，$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$。
• 結果：$\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$。

範例 5：$\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• 改寫為 $(x^2 + 1)^{1/2}$。
• 外：$u^{1/2}$，內：$u = x^2 + 1$。
• 外導數：$\frac{1}{2}u^{-1/2}$。內：$2x$。
• 結果：$\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$。

範例 6：巢狀連鎖 — $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

三層 — 連鎖律要用兩次。

• 最外：$\sin(u)$，內 $u = \cos(x^2)$。
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$（對 $\cos(x^2)$ 用連鎖律）。
• 結果：$\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$。

範例 7：連鎖律與乘積律並用 — $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• 先用乘積律：$(fg)' = f'g + fg'$。
• $f = x^2$，$f' = 2x$。$g = \sin(3x)$，由連鎖律 $g' = 3\cos(3x)$。
• 結果：$2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$。

四個值得背熟的錯誤

1. 漏掉內導數。 寫成 $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ 是最常見的連鎖律錯誤。因子 $2$ 不可或缺。
2. 在代入之前就微分內函數。 $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ 不是 $4(6x)^3$。外導數在內表達式處求值，不是在內導數處。
3. 把巢狀函數誤當成乘積。 $\sin(2x)$ 是複合，不是乘積。用連鎖律，不是乘積律。
4. 三角次方括號弄錯。 $\sin^2(x) = (\sin x)^2$ — 外是 $u^2$，內是 $\sin x$。容易和 $\sin(x^2)$ 混淆，後者外是 $\sin$，內是 $x^2$。

卡住時：代換技巧

設 $u = \text{(內部部分)}$，求 $\frac{dy}{du}$ 與 $\frac{du}{dx}$，相乘。即使函數看起來嚇人，這種機械式代換永遠有效。

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更深入的相關資料：

• 極限計算器 — 極限是連鎖律的基礎
• 積分計算器 — 代換法就是反向的連鎖律
• 解題範例：sin(2x) 的導數
• 解題範例：e^(2x) 的導數