積分計算機

積分是微積分中表示量之累積的基本概念。主要有兩種類型：

不定積分（反導函數）

$f(x)$ 的不定積分是一族函數 $F(x) + C$，使得 $F'(x) = f(x)$：

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

其中 $C$ 是積分常數。

定積分

定積分計算曲線 $f(x)$ 從 $a$ 到 $b$ 之下的淨帶號面積：

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

這個關係稱為微積分基本定理，它連結了微分與積分。

幾何上，定積分代表函數與 $x$ 軸在區間 $[a, b]$ 上之間的面積。軸上方的面積為正，軸下方的為負。

積分在物理（功、位移）、工程（訊號處理）、機率（期望值）與經濟（消費者剩餘）中有廣泛應用。

基本積分法則

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

方法 1：代換法（u 代換）

當被積函數含有複合函數時使用。令 $u = g(x)$，則 $du = g'(x)\,dx$：

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

範例：$\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$。令 $u = x^2$，$du = 2x\,dx$，所以積分變為 $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$。

方法 2：分部積分

基於導數的乘積法則：

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

使用 LIATE 規則選擇 $u$ 與 $dv$（對數、反三角、代數、三角、指數）。

範例：$\int x \cdot e^x\,dx$。令 $u = x$，$dv = e^x\,dx$。則 $du = dx$，$v = e^x$。結果：$xe^x - e^x + C$。

方法 3：部分分式

對於有理函數 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，分解為較簡單的分式：

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

方法 4：三角代換

對於含 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 的被積函數：

方法比較

• 忘記積分常數：每個不定積分都必須加上 $+ C$。反導函數是一族函數。
• 冪法則套用錯誤：$\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$，而非 $\frac{x^0}{0}$。當 $n = -1$ 時不適用冪法則 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$。
• 三角積分的正負號錯誤：$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$（負號）。$\int \cos x\,dx = \sin x + C$（正號）。
• 忘記代換回去：使用 $u$ 代換時，務必將最終答案換回原變數 $x$。
• 定積分的邊界錯誤：在定積分中使用代換時，要嘛將上下限改為配合新變數，要嘛在求值前代換回去。