極限技巧

標準極限（sin）

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

所有三角極限的基礎。

羅必達法則

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

當極限為 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 時使用。

求導法則

冪法則

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

適用於任意實數指數。

乘積法則

$(fg)' = f'g + fg'$

兩個函數相乘——輪流對每個求導。

商法則

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

用於比值；記住順序 $f'g$ 在 $fg'$ 之前。

鏈式法則

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

先外後內；最常見的出錯來源。

常見導數

sin

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

cos

$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$

注意負號。

e^x

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

唯一的不動點函數。

ln x

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

定義域 $x > 0$ 。

積分表

冪法則（積分）

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \neq -1)$

求導冪法則的逆運算。

1/x

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

冪法則中 $n=-1$ 的特例。

sin / cos

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

記住符號——很容易弄混。

指數函數

$\int e^x\,dx = e^x + C$

與其導數相同。

泰勒 / 麥克勞林級數

e^x

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

對所有實數 $x$ 收斂。

sin x

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

僅含奇數次冪。

cos x

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

僅含偶數次冪。

微積分 Formulas