極限計算機

極限描述當輸入趨近某特定點時函數所趨近的值。其形式定義為：

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

表示對於每個 $\epsilon > 0$，都存在一個 $\delta > 0$，使得若 $0 < |x - a| < \delta$，則 $|f(x) - L| < \epsilon$。

直觀地說，極限回答：「當 $x$ 趨近 $a$ 時，$f(x)$ 任意接近什麼值？」

單側極限從單一方向趨近：

• 左極限：$\lim_{x \to a^-} f(x)$
• 右極限：$\lim_{x \to a^+} f(x)$

雙側極限只在兩個單側極限都存在且相等時才存在。

在無窮處的極限描述末端行為：

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$

表示當 $x$ 無界增大時 $f(x)$ 趨近 $L$。

極限是微積分的基礎——它定義了導數、積分與連續性。函數在 $a$ 連續的充要條件為 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

方法 1：直接代入

最簡單的作法——代入該值。若 $f(a)$ 有定義且函數在 $a$ 連續：

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

範例：$\lim_{x \to 3} (x^2 + 1) = 9 + 1 = 10$

方法 2：因式分解與約分

當直接代入得到 $\frac{0}{0}$ 時，因式分解並約分：

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$

方法 3：羅必達法則

當直接代入得到 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 時：

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

前提是右側的極限存在。

範例：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$

方法 4：夾擠定理

若在 $a$ 附近 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，且 $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$，則 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。

方法 5：乘以共軛

對於含根號的算式：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{4}$

重要的標準極限

方法比較

• 未驗證不定形便套用羅必達法則：此法則只適用於 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$。用在 $\frac{1}{0}$ 或其他形式會得到錯誤答案。
• 混淆極限存在與函數值：即使 $f(a)$ 無定義，$\lim_{x \to a} f(x)$ 仍可能存在。極限取決於附近的值，而非該點的值。
• 忽略單側極限：對於分段函數或在不連續點處，務必分別檢查左右極限。
• 錯誤地將極限分配到不定型運算上：當兩者皆為 $\infty$ 時，$\lim(f - g) \neq \lim f - \lim g$（會得到 $\infty - \infty$，這是不定型）。
• 把 $\frac{\infty}{\infty}$ 當成 1：$\frac{\infty}{\infty}$ 是不定型——它可以等於任何值。