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導數計算機

以 AI 驅動的逐步解題，求任意函數的導數

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∑Math Input
x^3 + 2x^2 - 5x
sin(x) * cos(x)
e^(2x)
ln(x^2 + 1)

什麼是導數？

導數衡量函數的瞬時變化率。對於函數 f(x)f(x)，導數 f′(x)f'(x) 的定義為：

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

幾何上，某點的導數等於函數圖形在該點的切線斜率。

常見記號：

  • f′(x)f'(x) — 拉格朗日記號
  • dydx\frac{dy}{dx} — 萊布尼茲記號
  • y˙\dot{y} — 牛頓記號（物理中常用）

基本微分法則

冪法則

ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

和／差法則

ddx[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)

乘積法則

ddx[f(x)⋅g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

商法則

ddx[f(x)g(x)]=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

連鎖律

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

常見導數

函數導數
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos x
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin x
exe^xexe^x
ln⁡x\ln x1x\frac{1}{x}
axa^xaxln⁡aa^x \ln a

應避免的常見錯誤

  • 忘記連鎖律：微分像 sin⁡(3x)\sin(3x) 這樣的複合函數時，別忘記乘以內函數的導數（33）。
  • 冪法則的正負號錯誤：ddxx−2=−2x−3\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}，而非 −2x−1-2x^{-1}。
  • 混淆乘積法則與連鎖律：(fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg' 是乘積法則；(f∘g)′=f′(g)⋅g′(f \circ g)' = f'(g) \cdot g' 是連鎖律。
  • 忘記常數：常數的導數為 00，而非 11。

Examples

Step 1: 對每一項套用冪法則：ddx(x3)=3x2\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2
Step 2: ddx(2x2)=4x\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x，ddx(−5x)=−5\frac{d}{dx}(-5x) = -5，ddx(3)=0\frac{d}{dx}(3) = 0
Step 3: 合併：f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
Answer: f′(x)=3x2+4x−5f'(x) = 3x^2 + 4x - 5

Step 1: 套用乘積法則：f′(x)=cos⁡(x)⋅cos⁡(x)+sin⁡(x)⋅(−sin⁡(x))f'(x) = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x))
Step 2: 化簡：f′(x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)
Answer: f′(x)=cos⁡(2x)f'(x) = \cos(2x)

Step 1: 套用連鎖律：外函數為 eue^u，其中 u=2xu = 2x
Step 2: f′(x)=e2x⋅ddx(2x)=e2x⋅2f'(x) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2
Answer: f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}

Frequently Asked Questions

冪法則指出 x^n 的導數為 n·x^(n-1)。例如，x³ 的導數為 3x²。

微分複合函數時使用連鎖律——也就是函數內含函數的情形，如 sin(3x)、e^(x²) 或 ln(2x+1)。將外函數的導數乘以內函數的導數。

導數求函數的變化率（斜率），而積分求曲線下累積的面積。兩者互為逆運算。

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