เครื่องแก้สมการ

สมการ คือข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ยืนยันว่านิพจน์สองตัวเท่ากัน เชื่อมด้วยเครื่องหมาย $=$:

$\text{left side} = \text{right side}$

การแก้ สมการหมายถึงการหาค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ทำให้ข้อความนั้นเป็นจริง ค่าเหล่านี้เรียกว่า คำตอบ หรือ ราก

สมการมีหลายประเภท:

• เชิงเส้น: $3x + 2 = 11$
• กำลังสอง: $x^2 - 4x + 3 = 0$
• ตรรกยะ: $\frac{x+1}{x-2} = 3$
• กรณฑ์: $\sqrt{2x+1} = x - 1$
• เลขชี้กำลัง: $2^x = 32$
• ลอการิทึม: $\log_2(x) = 5$
• ค่าสัมบูรณ์: $|3x - 2| = 7$
• ตรีโกณมิติ: $\sin(x) = \frac{1}{2}$

เครื่องแก้สมการอเนกประสงค์นี้รองรับทุกประเภทเหล่านี้และอื่น ๆ โดยเลือกวิธีที่เหมาะสมตามโครงสร้างของสมการ ต่างจากเครื่องแก้เฉพาะทาง (สำหรับสมการเชิงเส้นหรือกำลังสองเท่านั้น) เครื่องมือนี้ระบุประเภทสมการและใช้กลยุทธ์ที่ดีที่สุดโดยอัตโนมัติ

1. สมการตรรกยะ

คูณทั้งสองข้างด้วย ค.ร.น. ของตัวส่วน แก้พหุนามที่ได้ จากนั้นตรวจหาคำตอบแปลกปลอม (ค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์)

ตัวอย่าง: $\frac{x+1}{x-2} = 3$

1. คูณทั้งสองข้างด้วย $(x-2)$: $x + 1 = 3(x-2)$
2. $x + 1 = 3x - 6$ → $-2x = -7$ → $x = \frac{7}{2}$
3. ตรวจสอบ: $x = \frac{7}{2} \neq 2$ ✓

2. สมการกรณฑ์

แยกกรณฑ์ให้อยู่โดดเดี่ยว จากนั้นยกกำลังสอง (หรือยกกำลังที่เหมาะสม) ทั้งสองข้าง ตรวจสอบคำตอบเสมอ

ตัวอย่าง: $\sqrt{2x+1} = x - 1$

1. ยกกำลังสองทั้งสองข้าง: $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. จัดรูปใหม่: $x^2 - 4x = 0$ → $x(x-4) = 0$ → $x = 0$ หรือ $x = 4$
3. ตรวจสอบ $x = 0$: $\sqrt{1} = -1$? ไม่จริง! แปลกปลอม
4. ตรวจสอบ $x = 4$: $\sqrt{9} = 3$ ✓

3. สมการเลขชี้กำลัง

ถ้าจับคู่ฐานได้ ให้ทำให้เลขชี้กำลังเท่ากัน มิฉะนั้นใช้ลอการิทึม

ตัวอย่าง: $2^x = 32 = 2^5$ → $x = 5$

4. สมการค่าสัมบูรณ์

แยกเป็นสองกรณี: นิพจน์ภายในเท่ากับ $+c$ หรือ $-c$

ตัวอย่าง: $|3x - 2| = 7$

• กรณีที่ 1: $3x - 2 = 7$ → $x = 3$
• กรณีที่ 2: $3x - 2 = -7$ → $x = -\frac{5}{3}$

5. สมการลอการิทึม

แปลงเป็นรูปเลขชี้กำลังหรือใช้สมบัติของลอการิทึมเพื่อรวม

ตัวอย่าง: $\log_2(x) = 5$ → $x = 2^5 = 32$

• ไม่ตรวจหาคำตอบแปลกปลอม: การยกกำลังสองทั้งสองข้างหรือคูณด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปรอาจทำให้เกิดคำตอบเท็จ ให้แทนค่ากลับเข้าไปในสมการดั้งเดิมเสมอ
• ลืมข้อจำกัดของโดเมน: ลอการิทึมต้องการอาร์กิวเมนต์เป็นบวก รากที่สองต้องการตัวภายในรากไม่เป็นค่าลบ เศษส่วนต้องการตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
• ตกหล่นคำตอบกับค่าสัมบูรณ์: $|x| = 5$ มีคำตอบ สองค่า ($x = 5$ และ $x = -5$) อย่าลืมกรณีค่าลบ
• จัดการลอการิทึม/เลขชี้กำลังผิด: $\log(a+b) \neq \log(a) + \log(b)$ ลอการิทึมของผลบวกไม่ใช่ผลบวกของลอการิทึม
• หารด้วยตัวแปรโดยไม่ตรวจว่าเป็นศูนย์หรือไม่: ถ้าคุณหารทั้งสองข้างด้วย $x$ คุณอาจสูญเสียคำตอบ $x = 0$