เครื่องแก้ระบบสมการ

ระบบสมการ (เรียกอีกอย่างว่า สมการพร้อมกัน) คือชุดของสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรเดียวกันซึ่งต้องสอดคล้องทั้งหมดในเวลาเดียวกัน คำตอบคือเซตของค่าที่ทำให้ทุกสมการเป็นจริงพร้อมกัน

ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในสองตัวที่ไม่รู้ค่ามีรูป:

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

ในเชิงเรขาคณิต แต่ละสมการแทนเส้นในระนาบ คำตอบคือจุดที่เส้นตัดกัน

ระบบสามารถมี:

• คำตอบเดียวที่ไม่ซ้ำ: เส้นตัดกันที่จุดเดียวพอดี (สอดคล้องและเป็นอิสระ)
• ไม่มีคำตอบ: เส้นขนานกัน (ไม่สอดคล้อง)
• คำตอบจำนวนอนันต์: เส้นเหมือนกัน (สอดคล้องและขึ้นต่อกัน)

ระบบสมการปรากฏในการประยุกต์มากมายนับไม่ถ้วน: ปัญหาการผสม การวิเคราะห์วงจร ดุลยภาพอุปสงค์และอุปทาน การไหลของการจราจร และการหาค่าเหมาะที่สุด ระบบขนาดใหญ่ที่มีตัวแปร 3 ตัวขึ้นไปเกิดขึ้นในวิศวกรรมและวิทยาการข้อมูล

1. วิธีแทนค่า

แก้สมการหนึ่งหาตัวแปรหนึ่ง จากนั้นแทนค่าลงในอีกสมการหนึ่ง

ตัวอย่าง: แก้ $\begin{cases} x - y = 1 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$

1. จากสมการที่ 1: $x = y + 1$
2. แทนค่าลงในสมการที่ 2: $2(y + 1) + 3y = 7$
3. $2y + 2 + 3y = 7$ → $5y = 5$ → $y = 1$
4. แทนค่ากลับ: $x = 1 + 1 = 2$

2. วิธีกำจัด

บวกหรือลบสมการเพื่อกำจัดตัวแปรหนึ่ง

ตัวอย่าง: แก้ $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$

1. คูณสมการที่ 2 ด้วย 3: $3x - 3y = 3$
2. บวกกับสมการที่ 1: $5x = 10$ → $x = 2$
3. แทนค่ากลับ: $2 - y = 1$ → $y = 1$

3. วิธีเมทริกซ์ (การกำจัดแบบเกาส์)

เขียนระบบเป็นเมทริกซ์เสริมและลดทอนแถว:

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 7 \\ 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$

4. กฎของคราเมอร์

สำหรับระบบ $2 \times 2$ ถ้า $D = a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

5. การวาดกราฟ

วาดแต่ละสมการและระบุจุดตัด

• แทนค่าไม่ถูกต้อง: เมื่อแทนนิพจน์ ให้แทนตัวแปรทุกที่ที่ปรากฏและใช้วงเล็บ
• คูณสมการเพียงบางส่วน: เมื่อคูณเพื่อกำจัด ทุกพจน์ (รวมถึงค่าคงตัว) ต้องถูกคูณ
• สับสนเครื่องหมาย: ระวังเป็นพิเศษกับสัมประสิทธิ์ที่เป็นลบระหว่างการกำจัด
• ประกาศว่าไม่มีคำตอบเร็วเกินไป: การได้ $0 = 0$ หมายถึงคำตอบจำนวนอนันต์ (ระบบขึ้นต่อกัน) ไม่ใช่ไม่มีคำตอบ มีเพียง $0 = c$ (เมื่อ $c \neq 0$) ที่หมายถึงไม่มีคำตอบ
• ลืมหาตัวแปรทั้งหมด: หลังหาตัวแปรหนึ่งแล้ว ให้แทนค่ากลับเพื่อหาตัวอื่นเสมอ