อธิบายอสมการ: เชิงเส้น แบบประกอบ และกำลังสอง

อสมการดูเหมือนสมการเป๊ะ ๆ จนกระทั่งคุณไปเจอ กฎที่ทำให้คุณสะดุ้งตื่นตอนเที่ยงคืน: เมื่อคุณคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ ทิศของอสมการจะ กลับด้าน คู่มือนี้จะพาคุณไล่ดูอสมการเชิงเส้น แบบประกอบ และกำลังสอง พร้อมรูปแบบที่แก้การบ้านได้ 95%

กฎหนึ่งข้อที่ทุกคนลืม

สำหรับสมการ: ทุกการดำเนินการรักษาความเท่ากันไว้ $5 = 5$ จึงได้ $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$ — ทั้งสองข้างถูกทำให้เป็นลบเท่ากัน ความเท่ากันยังคงอยู่

สำหรับอสมการ: การคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนลบจะทำให้ทิศกลับด้าน $5 > 3$ เป็นจริง แต่ถ้าคูณทั้งสองข้างด้วย $-1$ จะได้ $-5 > -3$ ซึ่ง เป็นเท็จ ข้อความที่ถูกต้องคือ $-5 < -3$

กฎข้อเดียวนี้คือต้นตอของข้อผิดพลาดเกี่ยวกับอสมการเกือบทั้งหมด จงฝังมันลงในปฏิกิริยาอัตโนมัติของคุณ:

• บวก/ลบ อะไรก็ได้ → ไม่กลับด้าน
• คูณ/หาร ด้วยจำนวน บวก → ไม่กลับด้าน
• คูณ/หาร ด้วยจำนวน ลบ → กลับด้านอสมการ

อสมการเชิงเส้น

แก้เหมือนที่คุณแก้สมการเชิงเส้น โดยระวังการกลับด้านของเครื่องหมาย

ตัวอย่างที่ 1: $3x + 5 > 14$

• ลบ 5: $3x > 9$
• หารด้วย $3$ (บวก ไม่กลับด้าน): $x > 3$
• เซตคำตอบ: $(3, \infty)$ — วงเล็บเปิดหมายความว่า $x = 3$ ไม่ รวมอยู่ด้วย

ตัวอย่างที่ 2 (มีการกลับด้าน): $-2x + 7 \leq 1$

• ลบ 7: $-2x \leq -6$
• หารด้วย $-2$ (ลบ — กลับด้าน): $x \geq 3$
• เซตคำตอบ: $[3, \infty)$ — วงเล็บเหลี่ยมเพราะเป็น $\leq$ จึงรวม $3$ ด้วย

อสมการแบบประกอบ

อสมการ "แบบประกอบ" คือการเชื่อมอสมการง่าย ๆ สองตัวด้วย และ หรือ หรือ

และ มักเขียนเป็นโซ่เดียว: $-1 < 2x + 3 \leq 7$ ทำการดำเนินการกับ ทั้งสามส่วน พร้อมกัน

• ลบ 3 ทุกส่วน: $-4 < 2x \leq 4$
• หารด้วย 2 ทุกส่วน: $-2 < x \leq 2$
• คำตอบ: $(-2, 2]$

หรือ ยังคงเป็นอสมการสองตัวแยกกัน คำตอบคือ ยูเนียน ของเซตคำตอบแต่ละตัว:

$x < -3$ หรือ $x > 5$ → คำตอบ $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$

อสมการกำลังสอง

สำหรับ $x^2 + bx + c > 0$ (หรืออสมการใด ๆ ที่ $\neq 0$):

1. หาราก ของ $x^2 + bx + c = 0$
2. วาดราก ลงบนเส้นจำนวน — รากจะแบ่งเส้นออกเป็นช่วง ๆ
3. ทดสอบจุดหนึ่งจุด ในแต่ละช่วง เพื่อดูว่าพหุนามกำลังสองนั้นเป็นบวกหรือลบในช่วงนั้น
4. เลือกช่วงที่ตรงกับทิศของอสมการ

ตัวอย่าง: $x^2 - 5x + 6 > 0$

• แยกตัวประกอบ: $(x - 2)(x - 3) > 0$ รากอยู่ที่ $x = 2$ และ $x = 3$
• ทดสอบแต่ละช่วง:
  • $x = 0$: $(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
  • $x = 2.5$: $(0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗
  • $x = 4$: $(2)(1) = 2 > 0$ ✓
• คำตอบ: $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$

สำหรับอสมการ $\leq$ หรือ $\geq$ ให้ รวมรากเข้าไปด้วย (ช่วงปิด): $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$

การวาดกราฟคำตอบบนเส้นจำนวน

• วงกลมเปิด (○) ที่ค่าที่ไม่รวม ($<$ หรือ $>$)
• วงกลมทึบ (●) ที่ค่าที่รวม ($\leq$ หรือ $\geq$)
• ลูกศรยืดออกไปสู่อนันต์ในทิศของคำตอบ

แบบประกอบ และ → วงเล็บระหว่างวงกลมสองวง แบบประกอบ หรือ → รังสีสองเส้นแยกกันชี้ออกด้านนอก

อสมการที่มีค่าสัมบูรณ์

$|x - a| < b$ แตกออกเป็น $-b < x - a < b$ นั่นคือ $a - b < x < a + b$ — ช่วงที่มีขอบเขต

$|x - a| > b$ แตกออกเป็น $x - a < -b$ หรือ $x - a > b$ นั่นคือ $x < a - b$ หรือ $x > a + b$ — รังสีสองเส้นชี้ออกด้านนอก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

1. ลืมกลับด้านเมื่อหารด้วยจำนวนลบ เป็นต้นตอที่ใหญ่ที่สุดของคำตอบอสมการที่ผิด
2. รวมจุดปลายอย่างไม่ถูกต้อง $<$ กับ $\leq$ ต่างกัน — ชนิดของวงเล็บขึ้นอยู่กับมัน
3. มอง แบบประกอบ และ เหมือนเครื่องหมายเท่ากับ $-2 < x < 5$ เป็นข้อความเดียว คุณแยกมันเป็น "$x = -2$ หรือ $x = 5$" ไม่ได้
4. แก้อสมการกำลังสองเหมือนสมการ การตั้ง $x^2 - 4 > 0$ ให้ "เท่ากับศูนย์" ได้รากเป็น $\pm 2$ แต่ คำตอบของอสมการ ไม่ใช่ $\{-2, 2\}$ แต่เป็นช่วงระหว่าง/รอบ ๆ พวกมัน

ลองด้วยตัวเอง

ใส่อสมการใด ๆ (เชิงเส้น แบบประกอบ กำลังสอง หรือมีค่าสัมบูรณ์) ลงใน เครื่องมือแก้อสมการฟรี ของเรา — AI จะกลับเครื่องหมายอย่างถูกต้องและแสดงทุกขั้นตอน พร้อมกราฟคำตอบบนเส้นจำนวน

เนื้อหาที่เกี่ยวข้อง:

• อภิธานศัพท์: อสมการ
• อภิธานศัพท์: ค่าสัมบูรณ์
• เครื่องคำนวณสมการกำลังสอง — ใช้คู่กับเวอร์ชันอสมการ