การแยกตัวประกอบพหุนามคือสะพานเชื่อมระหว่างพีชคณิตกับเกือบทุกสิ่งที่ตามมา — การแก้สมการ การลดรูปนิพจน์ตรรกยะ การหาปริพันธ์ในแคลคูลัส คู่มือนี้พาผ่านหกเทคนิคมาตรฐานตามลำดับ ดังนั้นเมื่อคุณเห็นพหุนาม คุณจะมีรายการตรวจสอบแทนการเดา

ผังการตัดสินใจ

สำหรับพหุนามใดๆ ให้ถามตามลำดับนี้:

มีตัวประกอบร่วมไหม? ดึงออกมาก่อน
สองพจน์ → ผลต่างกำลังสอง / ผลต่างกำลังสาม
สามพจน์ → กำลังสองสมบูรณ์หรือการค้นหาคู่จำนวนเต็ม
สี่พจน์ → การจัดกลุ่ม
ดีกรีสูง → ทดสอบรากตรรกยะ แล้วหารสังเคราะห์

การทำตามลำดับนี้ช่วยประหยัดเวลาและป้องกันการแยกตัวประกอบที่พลาดไป

วิธีที่ 1: ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.)

ดึง ห.ร.ม. ออกมาก่อนเสมอ มันทำให้ทุกอย่างที่เหลือง่ายขึ้น

ตัวอย่าง: แยกตัวประกอบ $6x^3 + 9x^2 - 15x$

ห.ร.ม. ของ $6, 9, -15$ คือ $3$ ห.ร.ม. ของ $x^3, x^2, x$ คือ $x$
ห.ร.ม. รวม: $3x$
$6x^3 + 9x^2 - 15x = 3x(2x^2 + 3x - 5)$
ตอนนี้แยกตัวประกอบกำลังสองด้านใน: หาจำนวนที่คูณกันได้ $(2)(-5) = -10$ และบวกกันได้ $3$ ลอง $5$ และ $-2$ : ✓
ผลลัพธ์สุดท้าย: $3x(2x + 5)(x - 1)$

วิธีที่ 2: ผลต่างกำลังสอง

ถ้าคุณเห็น $a^2 - b^2$ ให้ใช้ทันที

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$

ตัวอย่าง: $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$

ระวังกำลังสองที่ซ่อนอยู่: $4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2 = (2x - 5)(2x + 5)$

วิธีที่ 3: ผลบวกและผลต่างกำลังสาม

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

ตัวอย่าง: $x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$

พจน์กลางในตัวประกอบไตรนามมักทำให้นักเรียนสับสน — มันมีเครื่องหมายตรงข้ามกับเครื่องหมายของกำลังสามเดิม แล้วตามด้วยพจน์สุดท้ายที่เป็นบวก

วิธีที่ 4: ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์

$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$

ตัวอย่าง: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ — รู้ได้เพราะ $9 = 3^2$ และ $6 = 2 \cdot 3$

รูปแบบนี้ปรากฏอยู่ทุกที่ในแคลคูลัส (การทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ปริพันธ์เกาส์เซียน)

วิธีที่ 5: การค้นหาคู่จำนวนเต็มสำหรับ $x^2 + bx + c$

หาสองจำนวนที่ คูณกันได้ $c$ และ บวกกันได้ $b$

ตัวอย่าง: แยกตัวประกอบ $x^2 + 7x + 12$

คู่ของ $12$ : $(1,12), (2,6), (3,4)$ คู่ $(3, 4)$ บวกกันได้ $7$ ✓
ผลลัพธ์: $(x + 3)(x + 4)$

สำหรับ $ax^2 + bx + c$ เมื่อ $a \neq 1$ ให้ใช้ วิธี AC: หาคู่ที่คูณกันได้ $ac$ และบวกกันได้ $b$ แยกพจน์กลาง แล้วแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

วิธีที่ 6: การแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้เมื่อคุณมี สี่พจน์ จัดกลุ่มเป็นคู่ แยกตัวประกอบแต่ละคู่ หวังว่าจะได้ทวินามร่วม

ตัวอย่าง: แยกตัวประกอบ $x^3 + 2x^2 + 3x + 6$

จัดกลุ่ม: $(x^3 + 2x^2) + (3x + 6) = x^2(x + 2) + 3(x + 2)$
ตัวประกอบร่วม $(x + 2)$ : $(x + 2)(x^2 + 3)$

การจัดกลุ่มยังจัดการไตรนามได้เมื่อวิธี AC ต้องการแยกพจน์กลาง

วิธีที่ 7 (ขั้นสูง): ทฤษฎีบทรากตรรกยะ

สำหรับพหุนามดีกรีสูงที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ทฤษฎีบทรากตรรกยะกล่าวว่ารากตรรกยะ $p/q$ ใดๆ จะมี $p$ หารพจน์ค่าคงที่ลงตัว และ $q$ หารสัมประสิทธิ์นำลงตัว ทดสอบตัวเลือกเหล่านั้นด้วยการหารสังเคราะห์ — เมื่อคุณพบรากหนึ่งราก $r$ แล้ว $(x - r)$ คือตัวประกอบ และคุณสามารถลดดีกรีของพหุนามได้

ตัวอย่าง: แยกตัวประกอบ $x^3 - 2x^2 - x + 2$

รากตรรกยะที่เป็นไปได้: $\pm 1, \pm 2$
ทดสอบ $x = 1$ : $1 - 2 - 1 + 2 = 0$ ✓ ดังนั้น $(x - 1)$ คือตัวประกอบ
การหารสังเคราะห์ให้ $x^2 - x - 2$ ซึ่งแยกตัวประกอบเป็น $(x - 2)(x + 1)$
ผลลัพธ์สุดท้าย: $(x - 1)(x - 2)(x + 1)$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ลืมดึง ห.ร.ม. ออกมาก่อน — นำไปสู่การแยกตัวประกอบที่ยุ่งยากและการลดรูปที่พลาดไป
ผิดเครื่องหมายในผลต่างกำลังสอง — $a^2 - b^2 \neq (a - b)^2$ นักเรียนหลายคนเผลอเขียนรูปกำลังสองสมบูรณ์
พยายามแยกตัวประกอบของพหุนามที่แยกไม่ได้ ไม่ใช่ทุกสมการกำลังสองจะแยกตัวประกอบได้บนจำนวนเต็ม $x^2 + 1$ ไม่มีการแยกตัวประกอบบนจำนวนจริง ให้เปลี่ยนไปใช้สูตรกำลังสองหรือยอมรับว่า "แยกไม่ได้"
หยุดหลังจากผ่านไปรอบเดียว ตรวจสอบเสมอว่าตัวประกอบแต่ละตัวยังแยกตัวประกอบต่อได้หรือไม่ (โดยเฉพาะหลังจากดึง ห.ร.ม. ออกมา — นิพจน์ด้านในมักแยกตัวประกอบได้อีก)

ฝึกฝนกับเครื่องมือแก้โจทย์ของเรา

ใส่พหุนามใดๆ ลงในเครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบฟรี แล้วเราจะแสดงทุกขั้นตอน รวมถึงวิธีที่เราลองและเหตุผล จับคู่กับเครื่องมือแก้สมการกำลังสองเมื่อการแยกตัวประกอบล้มเหลวสำหรับดีกรีสอง

สำหรับตัวอย่างที่แก้แล้วโดยเฉพาะ:

แยกตัวประกอบ x² + 7x + 12
แยกตัวประกอบ x² - 16
แก้ x² + 5x + 6 = 0 (การแยกตัวประกอบ + สมบัติผลคูณเป็นศูนย์)

วิธีแยกตัวประกอบพหุนาม: หกวิธี ทีละขั้นตอน