เครื่องแก้อสมการ

อสมการ คือข้อความทางคณิตศาสตร์ที่เปรียบเทียบนิพจน์สองตัวโดยใช้สัญลักษณ์ตัวใดตัวหนึ่ง:

• $<$ (น้อยกว่า)
• $>$ (มากกว่า)
• $\leq$ (น้อยกว่าหรือเท่ากับ)
• $\geq$ (มากกว่าหรือเท่ากับ)

ต่างจากสมการ (ซึ่งถามว่า "ค่าใดทำให้สองข้างเท่ากัน?") อสมการถามว่า "ค่าใดทำให้ข้างหนึ่งใหญ่กว่า (หรือเล็กกว่า) อีกข้างหนึ่ง?"

ตัวอย่างเช่น อสมการ:

$2x - 5 > 3$

ถามว่า: สำหรับค่า $x$ ใดที่ $2x - 5$ มากกว่า $3$?

คำตอบของอสมการมักเป็น ช่วง ของค่า (อินเทอร์วัล) ไม่ใช่จำนวนเดียว คำตอบมักแสดงในรูป สัญกรณ์ช่วง:

• $(a, b)$: ค่าทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง $a$ และ $b$ อย่างเคร่งครัด
• $[a, b]$: ค่าทั้งหมดจาก $a$ ถึง $b$ รวมปลายทั้งสอง
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: ค่าทั้งหมดที่น้อยกว่า $a$ หรือมากกว่า $b$

อสมการเป็นพื้นฐานในการหาค่าเหมาะที่สุด ปัญหาเงื่อนไขบังคับ และการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

1. อสมการเชิงเส้น

แก้เหมือนสมการเชิงเส้น โดยมีกฎสำคัญข้อหนึ่ง: กลับเครื่องหมายอสมการเมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนที่เป็นค่าลบ

ตัวอย่าง: แก้ $2x - 5 > 3$

1. บวก 5: $2x > 8$
2. หารด้วย 2: $x > 4$

คำตอบ: $(4, \infty)$

ตัวอย่างที่มีการกลับเครื่องหมาย: แก้ $-3x + 6 \leq 12$

1. ลบ 6: $-3x \leq 6$
2. หารด้วย $-3$ (กลับเครื่องหมาย!): $x \geq -2$

2. อสมการกำลังสอง

แก้สมการที่สอดคล้องกันก่อน จากนั้นทดสอบช่วง

ตัวอย่าง: แก้ $x^2 - 4x - 5 > 0$

1. แยกตัวประกอบ: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. จุดวิกฤต: $x = -1$ และ $x = 5$
3. ทดสอบช่วง:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

คำตอบ: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. อสมการตรรกยะ

หาว่าตัวเศษและตัวส่วนเป็นศูนย์ที่ใด (จุดวิกฤต) จากนั้นทดสอบเครื่องหมายในแต่ละช่วง อย่าคูณทั้งสองข้างด้วยนิพจน์ที่อาจเป็นค่าลบ

4. อสมการค่าสัมบูรณ์

• $|x| < a$ หมายถึง $-a < x < a$
• $|x| > a$ หมายถึง $x < -a$ หรือ $x > a$

5. วิธีตารางเครื่องหมาย

สำหรับอสมการพหุนาม/ตรรกยะ ให้สร้างตารางเครื่องหมายแสดงเครื่องหมายของตัวประกอบแต่ละตัวในแต่ละช่วง

• ลืมกลับเครื่องหมายอสมการ: เมื่อคุณคูณหรือหารทั้งสองข้างด้วยจำนวนที่เป็นค่าลบ คุณต้องกลับทิศทางของอสมการ
• รวมจุดวิกฤตไม่ถูกต้อง: สำหรับอสมการเข้ม ($<$, $>$) จุดวิกฤต ไม่ รวมอยู่ด้วย สำหรับ $\leq$ หรือ $\geq$ จะรวมอยู่ด้วย
• คูณด้วยตัวแปรโดยไม่พิจารณาเครื่องหมาย: ถ้าคุณคูณทั้งสองข้างด้วย $x$ คุณต้องพิจารณากรณี $x > 0$ และ $x < 0$ แยกกัน
• จัดการอสมการประกอบไม่ถูกต้อง: สำหรับ $a < f(x) < b$ ให้แก้ทั้งสองส่วนพร้อมกัน ไม่ใช่แยกกัน
• เขียนคำตอบในสัญกรณ์ผิด: ใช้วงเล็บโค้งสำหรับอสมการเข้มและวงเล็บเหลี่ยมสำหรับอสมการที่รวมปลาย