เครื่องแก้สมการพหุนาม

สมการพหุนาม คือสมการในรูป:

$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$

โดยที่ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกเรียกว่า ดีกรี, $a_n \neq 0$ และ $a_0, a_1, \ldots, a_n$ เป็นค่าคงตัว (สัมประสิทธิ์)

พหุนามจำแนกตามดีกรี:

• ดีกรี 1: เชิงเส้น ($ax + b = 0$)
• ดีกรี 2: กำลังสอง ($ax^2 + bx + c = 0$)
• ดีกรี 3: กำลังสาม ($ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$)
• ดีกรี 4: ควอร์ติก ($ax^4 + \cdots = 0$)
• ดีกรี 5 ขึ้นไป: ควินติกและสูงกว่า

ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต ระบุว่าพหุนามดีกรี $n$ มีราก $n$ ตัวพอดี (นับความซ้ำ) ในจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น สมการกำลังสามมี 3 รากเสมอ ซึ่งอาจเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน

สมการพหุนามดีกรีสูงเกิดขึ้นในฟิสิกส์ (การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ การสั่น) วิศวกรรม (ระบบควบคุม) เศรษฐศาสตร์ (การหาค่าเหมาะที่สุด) และคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ (จุดตัดของเส้นโค้ง)

ต่างจากสมการกำลังสอง ไม่มีสูตรเดียวที่ใช้ได้กับพหุนามดีกรีสูงทุกตัว นี่คือกลยุทธ์หลัก:

1. ทฤษฎีบทรากตรรกยะ

สำหรับ $a_n x^n + \cdots + a_0 = 0$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม รากตรรกยะ $\frac{p}{q}$ ใด ๆ ต้องสอดคล้องกับ:

• $p$ หาร $a_0$ ลงตัว (พจน์ค่าคงตัว)
• $q$ หาร $a_n$ ลงตัว (สัมประสิทธิ์นำ)

ทดสอบผู้เข้าชิงและใช้การหารสังเคราะห์เพื่อลดดีกรี

ตัวอย่าง: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

• รากตรรกยะที่เป็นไปได้: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
• ทดสอบ $x = 1$: $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓
• หาร $(x - 1)$ ออกได้ $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

2. การแยกตัวประกอบด้วยการจัดกลุ่ม

จัดเรียงพจน์เป็นกลุ่มที่มีตัวประกอบร่วม

ตัวอย่าง: $x^3 + x^2 - 4x - 4 = x^2(x+1) - 4(x+1) = (x^2-4)(x+1) = (x+2)(x-2)(x+1)$

3. การแทนค่า (สมการกำลังสองแฝง)

ถ้ามีเฉพาะกำลังคู่ ให้กำหนด $u = x^2$:

ตัวอย่าง: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ → กำหนด $u = x^2$: $u^2 - 5u + 4 = 0$ → $(u-1)(u-4) = 0$

ดังนั้น $x^2 = 1$ หรือ $x^2 = 4$ ได้ $x = \pm 1, \pm 2$

4. การหารสังเคราะห์

เมื่อพบราก $r$ แล้ว ให้หารด้วย $(x - r)$ เพื่อลดดีกรีของพหุนาม จากนั้นทำซ้ำ

5. กฎเครื่องหมายของเดการ์ต

นับการเปลี่ยนเครื่องหมายใน $f(x)$ และ $f(-x)$ เพื่อหาจำนวนรากจริงบวกและลบสูงสุด

• ลืมรากเชิงซ้อน: พหุนามดีกรี $n$ มีราก $n$ ตัวบน $\mathbb{C}$ เสมอ ถ้าคุณหาได้แค่รากจริง รากเชิงซ้อนจะมาเป็นคู่สังยุค
• มองข้ามรากซ้ำ: $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$ มี $x = 1$ เป็นรากซ้ำสองครั้ง
• รายชื่อผู้เข้าชิงรากตรรกยะไม่ครบ: ตรวจสอบทุกชุดของตัวประกอบ $a_0$ ส่วนตัวประกอบ $a_n$
• ผิดพลาดทางเลขคณิตในการหารสังเคราะห์: ตรวจสอบแต่ละขั้นซ้ำ — ตัวเลขผิดหนึ่งตัวจะกระจายไปทั่วการคำนวณทั้งหมด
• สมมติว่ารากทุกตัวเป็นตรรกยะ: พหุนามจำนวนมากมีรากอตรรกยะหรือเชิงซ้อนที่หาด้วยทฤษฎีบทรากตรรกยะเพียงอย่างเดียวไม่ได้