sin cos tan 計算機

三個主要的三角函數——正弦、餘弦與正切——將角度與直角三角形邊長的比值關聯起來：

$\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

在單位圓（半徑為 1，以原點為中心）上，對於從正 $x$ 軸量起的角 $\theta$：

• $\cos\theta$ = 該點的 $x$ 座標
• $\sin\theta$ = 該點的 $y$ 座標
• $\tan\theta$ = 終邊射線的斜率

關鍵性質：

• $\sin$ 與 $\cos$ 值域為 $[-1, 1]$，週期為 $2\pi$
• $\tan$ 值域為 $(-\infty, \infty)$，週期為 $\pi$
• 當 $\cos\theta = 0$ 時（在 $\frac{\pi}{2} + n\pi$ 處）$\tan\theta$ 無定義

倒數函數為：
$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$

這六個函數構成三角學的基礎，遍佈於數學、物理、工程與訊號處理。

方法 1：單位圓（精確值）

熟記關鍵角及其在單位圓上的座標：

方法 2：參考角

對於第一象限以外的角：

1. 求出參考角（與 $x$ 軸的銳角）
2. 由象限決定正負號（ASTC 規則：All、Sin、Tan、Cos）

ASTC 規則 — 哪些函數為正：

• 第一象限（0° 到 90°）：全部為正
• 第二象限（90° 到 180°）：Sin 為正
• 第三象限（180° 到 270°）：Tan 為正
• 第四象限（270° 到 360°）：Cos 為正

範例：$\sin(150°)$ — 參考角為 $180° - 150° = 30°$。在第二象限，正弦為正：$\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}$。

方法 3：和差公式

對於非標準角，分解為已知角：

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

範例：$\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

方法 4：圖形變換

對於 $y = A\sin(Bx + C) + D$：

• $|A|$ = 振幅
• $\frac{2\pi}{|B|}$ = 週期
• $-\frac{C}{B}$ = 相位移
• $D$ = 鉛直平移

比較：何時使用各方法

• 象限正負號錯誤：$\cos(120°) = -\frac{1}{2}$，而非 $+\frac{1}{2}$。務必檢查由哪個象限決定正負號。
• 混淆角度與弧度：$\sin(\pi) = 0$（弧度），但若解讀為 180 弧度則 $\sin(180) \approx -0.80$。單位要一致。
• 忘記 tan 無定義：$\tan(90°)$ 與 $\tan(270°)$ 無定義（鉛直漸近線），而非零或無窮。
• 誤用和公式：$\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$。必須使用正確的展開式。
• 參考角錯誤：參考角永遠是相對 $x$ 軸（而非 $y$ 軸）量得的，且永遠為正且為銳角。