三角學計算機

三角方程式是涉及未知角的三角函數（$\sin$、$\cos$、$\tan$ 等）的方程式。目標是找出滿足方程式的所有角度值。

由於三角函數是週期性的，大多數三角方程式有無限多個解。我們常以兩種形式表示解：

1. 主要解：特定區間內的解，通常是 $[0, 2\pi)$ 或 $[0°, 360°)$
2. 通解：所有解，使用 $+ 2n\pi$（或 $+ 360°n$）表示，其中 $n$ 為任意整數

例如，$\sin x = \frac{1}{2}$ 的主要解為 $x = \frac{\pi}{6}$ 與 $x = \frac{5\pi}{6}$，通解為 $x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ 與 $x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$。

求解三角方程式所用的關鍵恆等式：

• 畢氏：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• 倍角：$\sin 2x = 2\sin x \cos x$，$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
• 積化和差與和差化積公式

方法 1：孤立與反函數

對於簡單方程式，孤立三角函數並套用反函數：

$\sin x = a \implies x = \arcsin(a) \text{ 且 } x = \pi - \arcsin(a)$

$\cos x = a \implies x = \pm \arccos(a)$

$\tan x = a \implies x = \arctan(a) + n\pi$

方法 2：因式分解

當方程式可因式分解時：

$\sin^2 x - \sin x = 0 \implies \sin x(\sin x - 1) = 0$

所以 $\sin x = 0$ 或 $\sin x = 1$，在 $[0, 2\pi)$ 中得 $x = 0, \pi, \frac{\pi}{2}$。

方法 3：用恆等式化簡

用恆等式取代複雜算式：

範例：求解 $\cos 2x = \cos x$

使用 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$：
$2\cos^2 x - 1 = \cos x$
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$

所以 $\cos x = -\frac{1}{2}$ 或 $\cos x = 1$。

方法 4：代換

對於含多個三角函數的方程式，代換 $t = \sin x$ 或 $t = \cos x$：

$2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$

使用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$：$2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0$ → $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

方法 5：兩邊平方（並檢查）

有時很有用，但務必驗證解，因為平方可能引入增根。

參考角摘要

方法比較

• 忘記週期性的解：$\sin x = 0.5$ 每個週期有兩個解，而非一個。務必考慮函數帶有給定正負號的所有象限。
• 除以三角函數：除以 $\sin x$ 或 $\cos x$ 可能遺失該函數為零之處的解。請改用因式分解。
• 未檢查增根：兩邊平方時，務必代回驗證。平方可能引入假解。
• 混淆角度與弧度：確保一致。在大多數計算機與程式設計情境中 $\sin(30) \neq \sin(30°)$。
• 忽略定義域限制：$\sin x = 2$ 無實數解，因為 $-1 \leq \sin x \leq 1$。