反三角函數計算機

反三角函數是標準三角函數的反運算。給定一個比值，它們回傳一個角度：

$\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x$
$\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x$
$\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x$

由於三角函數不是一對一的，我們限制其定義域以定義恰當的反函數：

替代記號：$\sin^{-1}(x)$、$\cos^{-1}(x)$、$\tan^{-1}(x)$（注意：$\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x}$）。

關鍵關係：

• 對所有 $x \in [-1, 1]$ 都有 $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$
• 對所有 $x$ 都有 $\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2}$

反三角函數出現在積分（$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$）、幾何、導航與物理中。

方法 1：使用已知值

對於標準值，反向使用單位圓：

$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{因為 } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

常見精確值：

方法 2：直角三角形法

要計算像 $\cos(\arcsin(\frac{3}{5}))$ 這樣的複合運算：

1. 令 $\theta = \arcsin(\frac{3}{5})$，所以 $\sin\theta = \frac{3}{5}$
2. 畫一個直角三角形：對邊 $= 3$，斜邊 $= 5$
3. 求鄰邊 $= \sqrt{25 - 9} = 4$（畢氏定理）
4. 因此 $\cos\theta = \frac{4}{5}$

方法 3：代數恆等式

用於化簡的有用恆等式：

$\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$
$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$
$\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

方法 4：反三角函數的導數

這些對微積分至關重要：

$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

方法比較

• 混淆 $\sin^{-1}(x)$ 與 $\frac{1}{\sin x}$：記號 $\sin^{-1}(x)$ 表示 arcsin，而非餘割。利用上下文或優先使用「arc」記號以避免混淆。
• 忽略主值範圍：$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$，而非 $\frac{11\pi}{6}$。答案必須落在定義範圍 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 內。
• 錯誤套用消去：對 $x \in [-1,1]$ 有 $\sin(\arcsin x) = x$，但 $\arcsin(\sin x) = x$ 只在 $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 時成立。在此範圍外，你會得到帶適當正負號的參考角。
• 定義域錯誤：$\arcsin(2)$ 與 $\arccos(-3)$ 在實數範圍內無定義，因為它們的定義域為 $[-1, 1]$。
• 畢氏步驟的正負號錯誤：使用直角三角形法時，務必根據主值範圍所隱含的象限取正確的正負號。