三角恆等式生存包

三角恆等式有幾十個，但實際上你只需要記住十來個——其餘的都能在幾秒鐘內從它們推導出來。本頁就是這份生存包：每一個真正值得記的恆等式，都配有一個簡短的解題範例。

畢氏三件套

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

第一個是整個數學中使用頻率最高的恆等式。另外兩個是透過兩邊同除 $\cos^2$ 或 $\sin^2$ 得到的。

和差公式

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

cos 的口訣：「cos cos 減 sin sin」，符號相反——sin 是「sin cos 加 cos sin」，符號相同。

倍角公式

把 $\alpha = \beta = \theta$ 代入和公式：

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

由於畢氏恆等式，餘弦版本存在三種形式。挑選與你算式其餘部分相匹配的那一種。

半角公式

把餘弦倍角公式對 $\sin^2$ 和 $\cos^2$ 求解，得到：

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

這些是降冪恆等式——正是它們讓 $\int \sin^2 x \, dx$ 變得初等可解。

解題範例：化簡

化簡 $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$。

1. 分子：$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$。
2. 分母：$1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$。
3. 商：$\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$。

整個看起來雜亂的算式坍縮為 $\tan x$。

常見錯誤

• 和公式中的符號錯誤——把公式完整寫出來，不要在解題途中靠記憶。
• $\sin^2\theta$ 表示 $(\sin\theta)^2$，而不是 $\sin(\sin\theta)$。
• 忘記 $2\theta$ 是角度，而不是值的 2 倍——$\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$，而不是 $2\sin 30°$。

用 AI 三角函數求解器試試

三角函數求解器接受任意算式，並應用所有這些恆等式來化簡或求解。

相關參考：

• 化簡計算器 — 同樣的化簡思路，多項式版本
• 積分計算器 — 降冪對三角積分至關重要
• 級數計算器 — sin 和 cos 的泰勒展開直接用到這些