算式化簡計算機

化簡代數算式是指在不改變其值的情況下，將它改寫成更短、更簡潔或更標準的形式。化簡後的形式更易於閱讀、求值，並在後續計算中使用。

常見的化簡運算包括：

• 合併同類項：$3x + 5x = 8x$
• 消去公因式：$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = x - 3$（當 $x \neq -3$）
• 約化指數：$\frac{x^5}{x^2} = x^3$
• 展開並合併：$(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1$

化簡後的算式在定義域內的所有值上都與原式等價。注意，「最簡形式」可能依情境而定——有時因式形式較簡單，有時展開形式較簡單。

化簡是核心的代數技能，用於求解方程式、計算極限、積分函數，以及清楚地表達數學結果。

1. 合併同類項

將變數與指數相同的項分組，再將其係數相加。

範例：$3x^2 + 2x - x^2 + 5x - 7 = 2x^2 + 7x - 7$

2. 套用指數律

關鍵法則：

• $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
• $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
• $(x^a)^b = x^{ab}$

範例：$\frac{x^5 \cdot x^2}{x^4} = x^{5+2-4} = x^3$

3. 因式分解並消去

對於有理式，將分子與分母因式分解，然後消去公因式。

範例：$\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x - 3$（當 $x \neq -3$）

4. 展開乘積

使用分配律或特殊公式：

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

範例：$(2x+3)^2 - 4x^2 = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 = 12x + 9$

5. 分母有理化

透過乘以共軛根式消去分母中的根號：

$\frac{1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

6. 化簡繁分式

將分子與分母同乘所有內層分數的 LCD。

• 消去項而非因式：$\frac{x + 3}{x + 5} \neq \frac{3}{5}$。你只能消去整個分子與分母的公因式。
• 忘記定義域限制：從 $\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}$ 消去 $(x+3)$ 時，注意原式中 $x \neq -3$。
• 指數運算錯誤：$x^2 \cdot x^3 = x^5$，而非 $x^6$。且 $\frac{x^5}{x^2} = x^3$，而非 $x^{2.5}$。
• 將指數分配到和上：$(x + y)^2 \neq x^2 + y^2$。正確的展開為 $x^2 + 2xy + y^2$。
• 太早停止：務必檢查結果是否還能再化簡（例如，提出剩餘的 GCF）。