因式分解計算機

因式分解是將多項式算式拆解成數個較簡單算式（稱為因式）相乘的過程。它是展開（乘開）的逆運算。

例如：

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

左邊是單一多項式；右邊是把同一算式寫成兩個二項式的乘積。

因式分解在代數中至關重要，因為它讓我們能夠：

• 求解方程式：令每個因式為零即得到根。
• 化簡分式：消去有理式中的公因式。
• 分析行為：辨識零點、漸近線與正負號變化。

當每個因式都不可約（在整數範圍內無法再分解）時，多項式即為完全因式分解。代數基本定理保證每個 $n$ 次多項式在複數範圍內都能恰好分解為 $n$ 個一次因式。

常見的因式分解類型包括：

• 提出最大公因式（GCF）
• 三項式因式分解
• 平方差：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
• 立方和／立方差
• 分組因式分解

以下是主要的因式分解技巧，由最簡單到最進階排列：

1. 提出最大公因式（GCF）

一律先提出最大公因式。

範例：$6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$

2. 平方差

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

範例：$x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$

3. 完全平方三項式

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

範例：$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

4. 三項式因式分解（$x^2 + bx + c$）

找出兩數 $p$ 與 $q$ 使得 $p + q = b$ 且 $p \cdot q = c$：

$x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$

範例：$x^2 - 5x + 6$：找 $p + q = -5$ 且 $pq = 6$ → $p = -2, q = -3$

所以 $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

5. AC 法（針對 $a \neq 1$ 的 $ax^2 + bx + c$）

將 $a \cdot c$ 相乘，找出兩數相乘為 $ac$ 且相加為 $b$，然後拆項並分組。

範例：$2x^2 + 7x + 3$：$ac = 6$，找 $1 + 6 = 7$

• $2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x+1) + 3(2x+1) = (x+3)(2x+1)$

6. 立方和／立方差

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

7. 分組因式分解

將各項兩兩分組，分別對每組因式分解，再提出公共的二項式。

• 忘記先提出 GCF：使用其他技巧前，務必先檢查是否有公因式。
• 混淆平方差與平方和：$a^2 - b^2$ 可分解，但 $a^2 + b^2$ 在實數範圍內無法分解。
• 三項式因式分解的正負號錯誤：當 $c > 0$ 且 $b < 0$ 時，$p$ 與 $q$ 皆為負數。
• 太早停止：檢查每個因式是否還能再分解（例如 $x^4 - 16 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x+2)(x-2)$）。
• 未透過展開驗證：務必把因式乘回去，確認等於原始算式。