不頭痛地搞懂極限與連續性

極限是通往微積分的大門，遺憾的是它也是大多數學生放棄的地方。事實是，大多數極限都很簡單——直接代入就行。剩下的少數則遵循屈指可數的幾種技巧。本指南會按難度遞增帶你走過一遍，讓你一眼就能認出該套用哪種方法。

極限到底是什麼意思

記號 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 是說：當 $x$（從任一側）任意地趨近 $a$ 時，$f(x)$ 會任意地趨近 $L$。函數不需要在 $a$ 處有定義——而且即使有定義，$f(a)$ 也不一定要等於 $L$。

最後這一點正是極限有用的原因。它讓我們能在函數可能無定義或跳躍的地方討論「趨近」的行為。

方法 1：直接代入（約 70% 的情況可行）

如果 $f$ 在 $a$ 處連續，則 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。代進去。完成。

範例：$\lim_{x \to 3}(x^2 + 2x - 1) = 9 + 6 - 1 = 14$。

多項式、有理函數（分母非零處）、exp、sin、cos、ln（在定義域內）——都連續，都可以用代入解決。

方法 2：因式分解後約分（針對 0/0 不定型）

如果直接代入得到 $\frac{0}{0}$，試試把分子和分母因式分解。

範例：$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。

• 直接代入：$\frac{0}{0}$ ❌
• 因式分解：$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$。
• 約分：$\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$。

被約掉的那個因式正是造成原本 $0/0$ 的元兇；一旦它消失，就代入。

方法 3：有理化（當對根號做因式分解失敗時）

對於含平方根、會得到 $0/0$ 的極限，乘上共軛式。

範例：$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$。

• 乘上 $\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}$：分子變成 $(x+1) - 1 = x$。
• 約掉 $x$：$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{2}$。

方法 4：無窮處的極限

對於 $x \to \infty$ 時的有理函數，把每一項都除以分母中 $x$ 的最高次冪。

範例：$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x^2 - 5}$。

• 分子分母同除以 $x^2$：$\frac{3 + 2/x - 1/x^2}{2 - 5/x^2}$。
• 當 $x \to \infty$ 時，$1/x$ 與 $1/x^2$ 的項都趨近 $0$。
• 極限：$\frac{3}{2}$。

經驗法則：對於 $x \to \infty$ 時的 $\frac{p(x)}{q(x)}$：

• 若 $\deg p < \deg q$ → 極限為 $0$。
• 若 $\deg p = \deg q$ → 極限為首項係數之比。
• 若 $\deg p > \deg q$ → 極限為 $\pm\infty$。

方法 5：基本三角極限

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

這是 $\frac{0}{0}$ 的三角版本。配合 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$，它能解決大多數入門三角極限。

範例：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$。

方法 6：羅必達法則

當 0/0 或 ∞/∞ 無法用代數解決時，羅必達法則讓你獨立地對分子和分母求導：

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \quad (\text{僅限不定型})$

範例：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。✓（同樣的答案，推導更快。）

什麼是連續性？

函數 $f$ 在 $a$ 處連續，需同時滿足三個條件：

1. $f(a)$ 有定義。
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在。
3. 兩者相等：$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

常見的不連續：

• 可去（一個破洞）：可透過重新定義 $f(a)$ 來「修補」。
• 跳躍：左極限與右極限不同。
• 無窮：垂直漸近線。

連續性是微積分最有力的那些定理的先決條件：中間值定理、極值定理，以及可微性的定義本身。

常見錯誤

1. 假設極限等於函數值。極限與函數值是不同的概念；即使函數在 $x = 0$ 處無定義，$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ 仍然成立。
2. 把羅必達套用到非不定型。$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x + 1}{x + 1}$ 不是 $\frac{0}{0}$——直接代入得到 $1$，就這樣。
3. 錯誤地拆分極限。$\lim (f + g) = \lim f + \lim g$ 只有在兩個個別極限都存在時才成立。
4. 忘記單側極限。$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ 但 $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$——雙側極限不存在。

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相關資料：

• 解題範例：lim sin(x)/x
• 術語表：極限
• 術語表：連續性
• 術語表：羅必達法則
• 微積分公式速查表