分部積分：附範例的實用指南

分部積分是反過來運行的乘積律，也是繼代換之後使用最頻繁的積分技巧。公式很短，但第一次遇到時，決定哪一部分當「u」、哪一部分當「dv」會變成一門藝術。本指南會帶你走過 LIATE 速記法和五個逐漸加難的範例，讓你最後掌握一套可靠的方法，而不是靠試誤。

公式

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

把一個積分換成另一個（但願）更容易的積分。藝術在於選擇 $u$ 和 $dv$——糟糕的選擇會讓新的積分更難。

LIATE：一條可靠的經驗法則

挑選 $u$ 時，優先選這個清單中靠前的函數：

L 對數 > I 反三角 > A 代數 > T 三角 > E 指數

剩下的就成為 $dv$。LIATE 不是定理，但它對約 90% 的課本題目都有效。

範例 1：$\int x e^x \, dx$（代數 × 指數）

LIATE → 代數排在指數之前，所以 $u = x$，$dv = e^x \, dx$。

• $du = dx$，$v = e^x$。
• 套用：$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$。

範例 2：$\int x \ln x \, dx$（代數 × 對數）

LIATE → 對數優先：$u = \ln x$，$dv = x \, dx$。

• $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \frac{x^2}{2}$。
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$。
• 化簡：$\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$。

範例 3：$\int x^2 \sin x \, dx$（代數 × 三角——套用兩次）

$u = x^2$，$dv = \sin x \, dx$。則 $du = 2x \, dx$，$v = -\cos x$。

• 第一次：$\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$。
• 對 $\int 2x \cos x \, dx$ 做第二次：令 $u = 2x$，$dv = \cos x \, dx$。則 $du = 2 \, dx$，$v = \sin x$。
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$。
• 合併：$-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$。

當你看到一個 $n$ 次多項式乘上 $\sin/\cos/\exp$ 時，預期要套用這條法則 $n$ 次。

範例 4：$\int e^x \cos x \, dx$（迴圈技巧）

兩個因式都是同樣「好」的候選——無論積分還是微分，誰都不會變得更簡單。套用兩次，看著原本的積分又繞回來，然後用代數方法解出。

• 第一次：$u = \cos x$，$dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$。
• 對新的積分做第二次：$u = \sin x$，$dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$。
• 代回去：原式 $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ 原式。
• 解出：$2 \cdot \text{原式} = e^x (\cos x + \sin x)$，所以原式 $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$。

範例 5：$\int \ln x \, dx$（「沒有明顯的 dv」情形）

看起來沒有東西可以當 $dv$ 來積分。技巧：使用 $dv = dx$（$\ln x \cdot 1$ 裡的那個「$1$」）。

• $u = \ln x$，$dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$，$v = x$。
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$。

同樣這個技巧也能處理 $\int \arcsin x \, dx$、$\int \arctan x \, dx$ 以及類似的積分。

常見錯誤

1. 正負號錯誤。公式裡只有一個減號——用草稿紙追蹤 $+/-$。
2. $u$ 選錯。如果新的積分比原本的更難，那你把 $u$ 和 $dv$ 選反了。把它們對調。
3. 忘記不定積分的「+ C」。
4. 在代換可行時卻用分部積分。分部積分用於不符合 u-代換模式的乘積。如果是 $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$，請用代換。

自己動手試試

把任意積分丟進積分計算器，我們會告訴你該用代換、分部積分還是部分分式——並附上每一個步驟。

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