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三重积分计算器

用 AI 分步在直角、柱面或球面坐标下计算三重积分

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∑Math Input
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

什么是三重积分？

三重积分把单重积分和二重积分的概念推广到三维。对于定义在立体区域 E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3 上的函数 f(x,y,z)f(x, y, z)：

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

给出 ff 在 EE 上的总累积。无穷小体积元 dVdV 在笛卡尔坐标中为 dx dy dzdx\,dy\,dz，但可根据 EE 的几何形状改写。

常见物理意义：

  • 若 f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1，积分给出 EE 的体积。
  • 若 f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) 是密度，则给出总质量。
  • 矩、质心和转动惯量都是加权密度函数的三重积分。

计算三重积分的关键是选对坐标系并正确设定积分限。

如何设定与计算三重积分

第 1 步：选择坐标系

区域几何最佳坐标体积元
长方体 / 一般直角 (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
柱面对称柱面 (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
球面对称球面 (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

第 2 步：设定积分限

把区域投影到某个坐标平面以确定积分次序。对于上界为 z=g2(x,y)z = g_2(x,y)、下界为 z=g1(x,y)z = g_1(x,y) 的 I 型立体：

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

第 3 步：逐层计算

先积最内层，把外层变量当作常数。然后向外推进。

柱面坐标

用代换 x=rcos⁡θx = r\cos\theta，y=rsin⁡θy = r\sin\theta，z=zz = z：

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

额外的因子 rr 来自雅可比行列式。

球面坐标

用 x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta，y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta，z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi：

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

雅可比因子 ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi 至关重要——漏掉它是最常见的单一错误。

需要避免的常见错误

  • 忘记雅可比：柱面坐标多一个因子 rr，球面坐标多 ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi。漏掉它每次都会得到错误答案。
  • 积分限次序错误：最内层限可以依赖外层变量，但最外层限必须是常数。颠倒会得到荒谬结果。
  • sin⁡φ\sin\varphi 的符号错误：球面坐标中 φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi]（所以 sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0）。用 φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] 是错误的。
  • 混用约定：有些书用 φ\varphi 表示极角（从 z 轴量起），另一些表示方位角。要始终使用同一种约定。
  • 不画区域草图：对于不平凡的立体，快速画个草图能避免设出无法处理的积分限。

示例题目

Step 1: 设定累次积分：∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: 对 zz 积分：∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: 对 yy 积分：∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: 对 xx 积分：∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: 球面坐标下：0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1，0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi，0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: 体积 = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: 内层：∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: 中间：∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: 外层：∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: 相乘：13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: 改用柱面坐标：0≤r≤10 \leq r \leq 1，0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi，0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: 积分 = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: 内层：∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: 中间：∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: 外层：∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

常见问题

当区域绕 z 轴有旋转对称性但没有特殊径向结构时（圆柱、抛物面、圆盘上下方的圆锥）用柱面坐标。当区域由球面、过原点的圆锥界定，或具有完整三维径向对称性时（球、球壳）用球面坐标。

雅可比是更换坐标时调整体积元的行列式。柱面坐标中等于 r，球面坐标中等于 ρ² sin φ。没有它，积分测量的体积就错了。

观察区域：先积积分限依赖其他变量的那个变量（最内层），然后向外推进。最外层变量必须有常数限。如果某种次序导致难看的积分限，借助区域草图交换次序。

会，如果被积函数可以为负。对于体积计算，被积函数为 1，答案总是正的。对于带符号通量或净力等物理量，负值是可能且有意义的。

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