分部积分：附示例的实用指南

分部积分是反过来运行的乘积法则，也是继代换之后使用频率最高的积分技巧。公式很短，但第一次见到时，决定哪部分作"u"、哪部分作"dv"会变成一门艺术。本指南讲解 LIATE 速记法和五个难度递增的示例，让你最终掌握一套可靠的方法，而不是靠试错。

公式

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

把一个积分换成另一个（但愿）更容易的积分。艺术在于选择 $u$ 和 $dv$——糟糕的选择会让新积分更难。

LIATE：一条可靠的经验法则

选择 $u$ 时，优先选这个列表中靠前的函数：

L 对数 > I 反三角 > A 代数 > T 三角 > E 指数

剩下的就成为 $dv$。LIATE 不是一条定理，但它对约 90% 的教材题目都有效。

示例 1：$\int x e^x \, dx$（代数 × 指数）

LIATE → 代数在指数之前，所以 $u = x$，$dv = e^x \, dx$。

• $du = dx$，$v = e^x$。
• 应用：$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$。

示例 2：$\int x \ln x \, dx$（代数 × 对数）

LIATE → 对数优先：$u = \ln x$，$dv = x \, dx$。

• $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \frac{x^2}{2}$。
• $\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$。
• 化简：$\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$。

示例 3：$\int x^2 \sin x \, dx$（代数 × 三角——应用两次）

$u = x^2$，$dv = \sin x \, dx$。则 $du = 2x \, dx$，$v = -\cos x$。

• 第一遍：$\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$。
• 对 $\int 2x \cos x \, dx$ 做第二遍：令 $u = 2x$，$dv = \cos x \, dx$。则 $du = 2 \, dx$，$v = \sin x$。
• $\int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x$。
• 合并：$-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$。

当你看到 $n$ 次多项式乘以 $\sin/\cos/\exp$ 时，预期要应用该法则 $n$ 次。

示例 4：$\int e^x \cos x \, dx$（循环技巧）

两个因子同样"好"——无论积分还是求导，谁都不会变简单。应用两次，看着原积分回来，然后用代数解出。

• 第一遍：$u = \cos x$，$dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$。
• 对新积分做第二遍：$u = \sin x$，$dv = e^x \, dx$ → $\int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$。
• 回代：原积分 $= e^x \cos x + e^x \sin x -$ 原积分。
• 解出：$2 \cdot \text{原积分} = e^x (\cos x + \sin x)$，所以原积分 $= \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C$。

示例 5：$\int \ln x \, dx$（"没有明显 dv"的情形）

看起来没有什么能当作 $dv$ 来积分。技巧：用 $dv = dx$（即 $\ln x \cdot 1$ 中的 "$1$"）。

• $u = \ln x$，$dv = dx$ → $du = \frac{1}{x} dx$，$v = x$。
• $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C$。

同样的技巧也能处理 $\int \arcsin x \, dx$、$\int \arctan x \, dx$ 等。

常见错误

1. 符号错误。公式里有一个减号——用草稿纸跟踪 $+/-$。
2. $u$ 选错。如果新积分比原积分更难，说明你把 $u$ 和 $dv$ 选反了。把它们互换。
3. 不定积分忘记 "+ C"。
4. 该用代换却用分部积分。分部积分用于不符合 u-代换模式的乘积。如果是 $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$，用代换。

自己动手试试

把任意积分放进积分计算器，我们会告诉你该用代换、分部积分还是部分分式——并展示每一步。

具体解题示例与相关主题：

• 解题示例：∫ x² dx
• 解题示例：∫ sin(x) dx
• 微积分公式速查表
• 精通链式法则——求导那一面的"表亲"