不头疼地搞懂极限与连续性

极限是通往微积分的大门，遗憾的是它也是大多数学生放弃的地方。事实是，大多数极限都很简单——直接代入就行。剩下的少数则遵循屈指可数的几种技巧。本指南按难度递增带你过一遍，让你一眼就能认出该用哪种方法。

极限到底意味着什么

记号 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 表示：当 $x$（从任意一侧）任意地接近 $a$ 时，$f(x)$ 任意地接近 $L$。函数在 $a$ 处不需要有定义——即使有定义，$f(a)$ 也不必等于 $L$。

正是最后这一点让极限有用。它让我们能够讨论函数可能无定义或发生跳跃处的"逼近"行为。

方法 1：直接代入（约 70% 的情况下有效）

如果 $f$ 在 $a$ 处连续，那么 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。代入即可。完成。

示例：$\lim_{x \to 3}(x^2 + 2x - 1) = 9 + 6 - 1 = 14$。

多项式、有理函数（分母非零处）、exp、sin、cos、ln（在定义域内）——全都连续，全都可通过代入求解。

方法 2：因式分解并约分（针对 0/0 不定型）

如果直接代入得到 $\frac{0}{0}$，试着对分子和分母做因式分解。

示例：$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$。

• 直接代入：$\frac{0}{0}$ ❌
• 因式分解：$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$。
• 约分：$\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$。

被约掉的那个因子正是造成原来 $0/0$ 的原因；它消失之后，就可以代入了。

方法 3：有理化（当根式上因式分解失效时）

对于含平方根、得到 $0/0$ 的极限，乘以共轭。

示例：$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$。

• 乘以 $\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}$：分子变成 $(x+1) - 1 = x$。
• 约掉 $x$：$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{2}$。

方法 4：无穷远处的极限

对于 $x \to \infty$ 的有理函数，把每一项都除以分母中 $x$ 的最高次幂。

示例：$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{2x^2 - 5}$。

• 分子分母同除以 $x^2$：$\frac{3 + 2/x - 1/x^2}{2 - 5/x^2}$。
• 当 $x \to \infty$ 时，$1/x$ 和 $1/x^2$ 这些项趋于 $0$。
• 极限：$\frac{3}{2}$。

经验法则：对于 $x \to \infty$ 时的 $\frac{p(x)}{q(x)}$：

• 若 $\deg p < \deg q$ → 极限为 $0$。
• 若 $\deg p = \deg q$ → 极限为最高次系数之比。
• 若 $\deg p > \deg q$ → 极限为 $\pm\infty$。

方法 5：基本三角极限

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

这是 $\frac{0}{0}$ 的三角函数版本。与 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$ 结合，能解决大多数入门级三角极限。

示例：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$。

方法 6：洛必达法则

当 0/0 或 ∞/∞ 无法用代数手段化简时，洛必达法则允许你对分子和分母分别求导：

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \quad (\text{仅限不定型})$

示例：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$。✓（答案相同，推导更快。）

什么是连续性？

函数 $f$ 在 $a$ 处连续，当且仅当三个条件成立：

1. $f(a)$ 有定义。
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在。
3. 两者相等：$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

常见的不连续：

• 可去（一个空洞）：可以通过重新定义 $f(a)$ 来"修补"。
• 跳跃：左极限与右极限不同。
• 无穷：垂直渐近线。

连续性是微积分中最强大的定理——介值定理、极值定理，以及可微性本身的定义——的前提条件。

常见错误

1. 以为极限等于函数值。极限和函数值是不同的概念；即便函数在 $x = 0$ 处无定义，$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ 仍成立。
2. 对非不定型套用洛必达。$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x + 1}{x + 1}$ 不是 $\frac{0}{0}$——直接代入得 $1$，仅此而已。
3. 错误地拆分极限。只有当两个单独的极限都存在时，$\lim (f + g) = \lim f + \lim g$ 才成立。
4. 忘记单侧极限。$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$，但 $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$——双侧极限不存在。

自己试一试

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相关材料：

• 解题示例：lim sin(x)/x
• 术语表：极限
• 术语表：连续性
• 术语表：洛必达法则
• 微积分公式速查表