级数计算器

级数是数列各项之和。无穷级数的形式为：

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$

部分和为 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$。若部分和序列收敛于有限极限 $S$，则称级数收敛，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$。否则级数发散。

等比级数：$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 当 $|r| < 1$ 时收敛于 $\frac{a}{1-r}$。

p-级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 当 $p > 1$ 时收敛，$p \leq 1$ 时发散。

幂级数：形如 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n$ 的级数，在其收敛半径内表示一个函数。

泰勒级数：$f(x)$ 在 $x = a$ 处的幂级数展开：

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

当 $a = 0$ 时称为麦克劳林级数。

发散判别法（第 n 项判别法）

若 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$，则级数发散。注意：若极限为 0，该判别法无法判断。

比值判别法

计算 $L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$：

• $L < 1$：绝对收敛
• $L > 1$：发散
• $L = 1$：无法判断

根值判别法

计算 $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$，判断规则同比值判别法。

积分判别法

若 $f(n) = a_n$，且 $f$ 在 $x \geq 1$ 上正值、连续、递减：
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收敛} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ 收敛}$

比较判别法

若对所有 $n$ 有 $0 \leq a_n \leq b_n$：

• 若 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛
• 若 $\sum a_n$ 发散，则 $\sum b_n$ 发散

交错级数判别法（莱布尼茨判别法）

交错级数 $\sum (-1)^n b_n$ 收敛，若：

1. $b_n > 0$
2. $b_n$ 单调递减
3. $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$

常见泰勒/麦克劳林级数

判别法选择指南

• 误用发散判别法：若 $\lim a_n = 0$，这不能证明收敛。调和级数 $\sum 1/n$ 发散，尽管 $1/n \to 0$。
• 比值判别法 L=1 时下结论：当比值极限为 1 时，判别法无效，必须使用其他方法。
• 混淆绝对收敛和条件收敛：级数可以条件收敛（如交错调和级数）但不绝对收敛。
• 收敛半径不检查端点：求收敛区间时，端点处的收敛性必须单独检验。
• 泰勒级数余项：有限项的泰勒多项式只是近似值，存在余项，需要估计其误差界。