积分计算器

积分是微积分中的基本概念，表示量的累积。积分分为两大类：

不定积分（原函数）

$f(x)$ 的不定积分是满足 $F'(x) = f(x)$ 的函数族 $F(x) + C$：

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

其中 $C$ 为积分常数。

定积分

定积分计算函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上曲线与 $x$ 轴之间的有符号面积：

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

这就是微积分基本定理，它将微分与积分联系起来。

从几何角度看，定积分表示函数曲线与 $x$ 轴之间的面积。在 $x$ 轴上方的面积为正，下方为负。

积分在物理学（功、位移）、工程学（信号处理）、概率论（期望值）和经济学（消费者剩余）中有广泛应用。

基本积分公式

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

$\int \cos x\,dx = \sin x + C$

方法一：换元积分法（u 换元）

当被积函数含有复合函数时使用。令 $u = g(x)$，则 $du = g'(x)\,dx$：

$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$

例：$\int 2x \cdot e^{x^2}\,dx$。令 $u = x^2$，$du = 2x\,dx$，积分变为 $\int e^u\,du = e^{x^2} + C$。

方法二：分部积分法

基于导数的乘法法则：

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

选取 $u$ 和 $dv$ 时使用 LIATE 规则（对数、反三角、代数、三角、指数）。

例：$\int x \cdot e^x\,dx$。令 $u = x$，$dv = e^x\,dx$，则 $du = dx$，$v = e^x$。结果：$xe^x - e^x + C$。

方法三：部分分式法

对有理函数 $\frac{P(x)}{Q(x)}$，分解为简单分式：

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$

方法四：三角换元法

对含有 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 的被积函数：

方法对比

• 忘记积分常数：每个不定积分结果都必须加上 $+ C$。原函数是一族函数。
• 幂次法则误用：$\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$，而不是 $\frac{x^0}{0}$。当 $n = -1$ 时不能使用 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$。
• 三角积分的符号错误：$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$（注意负号），$\int \cos x\,dx = \sin x + C$（正号）。
• 忘记回代：使用 $u$ 换元后，最终答案必须换回原变量 $x$。
• 定积分换元时边界错误：使用换元法求定积分时，要么改变积分上下限以匹配新变量，要么换回原变量后再代入边界。