求导计算器

导数衡量函数在某一点的瞬时变化率。对于函数 $f(x)$，其导数 $f'(x)$ 定义为：

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

从几何角度看，某点的导数等于函数图像在该点的切线斜率。

常见记法：

• $f'(x)$ — 拉格朗日记法
• $\frac{dy}{dx}$ — 莱布尼茨记法
• $\dot{y}$ — 牛顿记法（物理中常用）

幂法则

$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$

和差法则

$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$

乘法法则

$\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

除法法则

$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

链式法则

$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

常见导数表

• 忘记链式法则：对 $\sin(3x)$ 求导时，别忘了乘以内层导数 $3$。
• 幂法则符号错误：$\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}$，不是 $-2x^{-1}$。
• 混淆乘法法则和链式法则：$(fg)' = f'g + fg'$ 是乘法法则；$(f \circ g)' = f'(g) \cdot g'$ 是链式法则。
• 忘记常数：常数的导数是 $0$，不是 $1$。