链式法则：何时以及如何运用（附示例）

链式法则是求导中使用频率最高的工具，同时也是出错最多的来源。一旦你把"先外后内"的模式内化于心，几乎任何复合函数你都能用三行算出导数。本指南向你展示这一模式，带你走过七个难度递增的示例，并列出四个值得提前记住的错误。

链式法则说了什么

如果 $f$ 和 $g$ 可导，那么复合函数 $f(g(x))$ 的导数是

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

用文字说：对在内层函数处取值的外层函数求导，然后乘以内层函数的导数。"外层"和"内层"的标签不容含糊——混淆它们会让答案颠倒。

一个实用的口诀：链式法则是"外层导数乘以内层导数"，绝不是相加，也绝不只取其一。

解题示例（易 → 难）

示例 1：$\frac{d}{dx}\sin(2x)$

• 外层：$\sin(u)$，内层：$u = 2x$。
• $\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u)$，$\frac{d}{dx}(2x) = 2$。
• 结果：$\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$。

示例 2：$\frac{d}{dx} e^{x^2}$

• 外层：$e^u$，内层：$u = x^2$。
• $\frac{d}{du} e^u = e^u$，$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$。
• 结果：$e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$。

示例 3：$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^4$

• 外层：$u^4$，内层：$u = 3x^2 + 1$。
• $\frac{d}{du} u^4 = 4u^3$，$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = 6x$。
• 结果：$4(3x^2 + 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 1)^3$。

示例 4：$\frac{d}{dx}\ln(\cos x)$

• 外层：$\ln u$，内层：$u = \cos x$。
• $\frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}$，$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$。
• 结果：$\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$。

示例 5：$\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$

• 改写为 $(x^2 + 1)^{1/2}$。
• 外层：$u^{1/2}$，内层：$u = x^2 + 1$。
• 外层导数：$\frac{1}{2}u^{-1/2}$。内层：$2x$。
• 结果：$\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$。

示例 6：嵌套链式 —— $\frac{d}{dx}\sin(\cos(x^2))$

三层——两次应用链式法则。

• 最外层：$\sin(u)$，内层 $u = \cos(x^2)$。
• $\frac{du}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x$（对 $\cos(x^2)$ 用链式法则）。
• 结果：$\cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$。

示例 7：链式 + 乘积法则联用 —— $\frac{d}{dx}\bigl(x^2 \sin(3x)\bigr)$

• 先用乘积法则：$(fg)' = f'g + fg'$。
• $f = x^2$，$f' = 2x$。$g = \sin(3x)$，由链式法则 $g' = 3\cos(3x)$。
• 结果：$2x \sin(3x) + x^2 \cdot 3\cos(3x) = 2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$。

值得记住的四个错误

1. 忘记内层导数。 写成 $\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)$ 是最常见的链式法则错误。因子 $2$ 是必须的。
2. 在代入之前对内层求导。 $\frac{d}{dx}(3x^2+1)^4$ 不是 $4(6x)^3$。外层导数是在内层表达式处取值，而不是在内层导数处。
3. 把嵌套函数误当作乘积。 $\sin(2x)$ 是复合，不是乘积。用链式法则，不要用乘积法则。
4. 三角函数幂的括号弄错。 $\sin^2(x) = (\sin x)^2$——外层是 $u^2$，内层是 $\sin x$。很容易和 $\sin(x^2)$ 混淆，后者外层是 $\sin$，内层是 $x^2$。

卡住时：代换技巧

设 $u = \text{（内层部分）}$，求出 $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$，相乘。即使函数看起来吓人，这种机械代换始终有效。

自己动手试试

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更深入的相关材料：

• 极限计算器——极限是链式法则的基础
• 积分计算器——代换就是反过来运行的链式法则
• 解题示例：sin(2x) 的导数
• 解题示例：e^(2x) 的导数