泰勒级数计算器

泰勒级数用函数在单个点 $a$ 处的导数构造无穷多项式来表示该函数：

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

当 $a = 0$ 时，该级数称为麦克劳林级数：

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

为什么重要：泰勒级数把对可能很难的函数（$\sin x$、$e^x$、$\ln x$、$\sqrt{1 + x}$）的计算转化为对多项式的计算，而多项式是计算机和人类都能处理的。它们是数值方法、渐近展开和逼近论的基础。

$n$ 次泰勒多项式是保留到 $(x-a)^n$ 项的部分和。在精确意义下（匹配函数值及前 $n$ 阶导数），它是 $f$ 在 $a$ 附近最佳的多项式逼近。

第 1 步：在展开点处计算导数

对于 $f(x)$ 和展开点 $a$，计算 $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$。

第 2 步：代入公式

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

需要记住的常见麦克劳林级数

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

收敛半径

泰勒级数只在围绕 $a$ 的收敛半径 $R$ 之内收敛。用比值判别法求它：

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

在此半径之外，级数发散且不表示该函数。在内部，收敛通常在紧子集上是一致的。

操作已知级数

为了快速，可对已知级数做代入、求导或积分，而不是从头计算导数：

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$（把 $-x^2$ 代入 $e^x$）
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• 忘记阶乘：第 $n$ 项含有 $\frac{1}{n!}$，而不只是导数。漏掉它会得到大错特错的答案。
• 在收敛半径之外使用级数：当 $|x| > 1$ 时，$\frac{1}{1-x}$ 不等于 $\sum x^n$——级数在那里发散。
• 忘记以 $a$ 为中心：围绕 $a$ 的泰勒级数用 $(x-a)$ 的幂，而非 $x$。
• 混淆次数与项数：$n$ 次泰勒多项式有 $n+1$ 项（从 $0$ 次到 $n$ 次）。
• 代入符号错误：$\sin(-x) = -\sin(x)$，所以 $\sin(-x)$ 的级数与 $\sin(x)$ 相比交错符号被翻转。