拉普拉斯变换计算器

拉普拉斯变换把时间函数 $f(t)$ 转换为复频率函数 $F(s)$：

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

该变换在某个右半平面 $\operatorname{Re}(s) > \sigma$ 内有定义，此时积分收敛。

为什么有用：拉普拉斯变换把微分转化为乘以 $s$，从而把常系数线性常微分方程变成关于 $s$ 的代数方程。你解出代数式，再做拉普拉斯逆变换得到时域中的答案。

拉普拉斯变换还能优雅地处理不连续和冲激输入（阶跃函数、狄拉克 δ），这使它在控制理论、信号处理和电气工程中不可或缺。

基本变换对

记住核心对照表：

关键性质

线性：

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

第一平移定理（s 平移）：

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

这就是 $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$ 的由来。

$t$ 域中的微分：

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

这正是把常微分方程转化为代数式的关键：导数变成关于 $s$ 的多项式乘以 $F(s)$，并把初始条件嵌入其中。

乘以 $t$：

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

拉普拉斯逆变换

给定 $F(s)$，求 $f(t)$ 使得 $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$。标准技巧：

1. 部分分式：把 $F(s)$ 分解为与对照表匹配的简单有理项。
2. 配方法：对于 $\frac{1}{s^2 + bs + c}$ 形式，改写为 $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$ 以匹配平移正弦表项。
3. 查表并用线性性组合。

用拉普拉斯变换解常微分方程

对于 $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$，$y(0) = 0, y'(0) = 1$：

1. 做拉普拉斯变换：$s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. 解出 $Y$：$Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$，所以 $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$（化简后）。
3. 取逆变换：$y(t) = t e^{-t}$。

简洁而机械——用参数变易法做同样的问题要花两倍的功夫。

• 忘记初始条件：$\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$。漏掉 $f(0)$ 是最常见的单一错误。
• s 平移符号错误：$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$，而不是 $F(s + a)$。符号很重要。
• 不连续处理不当：对于阶跃输入，使用单位阶跃函数 $u(t-a)$ 和时移定理 $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$。
• 不做部分分式就求逆变换：$\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ 不能直接求逆——先分解。
• 混淆 $F(s)$ 与 $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$：$F(s)$ 是变换，$f(t)$ 是原函数。常微分方程问题始终要回到时域结束。