微分方程求解器

微分方程是将函数与其导数联系起来的方程。常微分方程（ODE）涉及一个变量的函数：

$F\left(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}\right) = 0$

微分方程的阶是其中出现的最高阶导数。次是最高阶导数的幂次（当方程关于导数是多项式时）。

一阶 ODE：$y' = f(x, y)$

二阶 ODE：$y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$

解是在某区间上满足方程的函数 $y(x)$。通解含有任意常数（每阶一个）。初值问题（IVP）给定条件如 $y(x_0) = y_0$ 来确定唯一的特解。

微分方程可建模实际现象：人口增长、放射性衰变、弹簧-质量系统、电路、热传导和流体流动。

方法一：分离变量法

对形如 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ 的方程：

1. 分离变量：$\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$
2. 两边积分：$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx$

例：$\frac{dy}{dx} = 2xy$ → $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$ → $\ln|y| = x^2 + C$ → $y = Ae^{x^2}$

方法二：积分因子法（一阶线性）

对 $y' + P(x)y = Q(x)$，乘以积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$：

$\frac{d}{dx}[\mu(x) \cdot y] = \mu(x) \cdot Q(x)$

然后两边积分求 $y$。

例：$y' + 2y = e^{-x}$。$P(x) = 2$，$\mu = e^{2x}$。乘以积分因子：$(e^{2x}y)' = e^{x}$。积分：$e^{2x}y = e^x + C$，故 $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$。

方法三：特征方程法（常系数）

对 $ay'' + by' + cy = 0$，解特征方程 $ar^2 + br + c = 0$：

方法四：待定系数法

对 $ay'' + by' + cy = g(x)$，其中 $g(x)$ 为多项式、指数、正弦、余弦或其组合：

1. 求齐次方程的通解
2. 根据 $g(x)$ 的形式猜测特解
3. 代入方程求解系数
4. 通解 = 齐次通解 + 特解

方法五：常数变易法

对 $y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$，已知齐次解 $y_1, y_2$ 时的一般方法：

$y_p = -y_1 \int \frac{y_2 g}{W}\,dx + y_2 \int \frac{y_1 g}{W}\,dx$

其中 $W = y_1 y_2' - y_2 y_1'$ 是朗斯基行列式。

方法对比

• 忘记积分常数：分离变量法中，必须在求解 $y$ 之前就包含积分常数，因为它影响最终解的形式。
• 积分因子计算错误：$y' + P(x)y = Q(x)$ 的积分因子为 $e^{\int P(x)\,dx}$。确保方程已化为标准形式（$y'$ 的系数为 1）后再确定 $P(x)$。
• 遗漏重根情形：当特征方程有重根 $r$ 时，第二个解为 $xe^{rx}$，不是再来一个 $e^{rx}$。
• 特解猜测重复：若猜测的 $y_p$ 已是齐次方程的解，需乘以 $x$（或 $x^2$）来获得有效形式。
• 忽略初始条件：通解含有任意常数，只有在求出完整通解后才代入初始条件。