Калькулятор синуса, косинуса и тангенса

Три основные тригонометрические функции — синус, косинус и тангенс — связывают углы с отношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

$\sin\theta = \frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}, \quad \cos\theta = \frac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}, \quad \tan\theta = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

На единичной окружности (радиус 1, центр в начале координат) для угла $\theta$, отсчитываемого от положительной полуоси $x$:

• $\cos\theta$ = $x$-координата точки
• $\sin\theta$ = $y$-координата точки
• $\tan\theta$ = угловой коэффициент конечного луча

Ключевые свойства:

• $\sin$ и $\cos$ имеют множество значений $[-1, 1]$ и период $2\pi$
• $\tan$ имеет множество значений $(-\infty, \infty)$ и период $\pi$
• $\tan\theta$ не определён, когда $\cos\theta = 0$ (при $\frac{\pi}{2} + n\pi$)

Обратные функции:
$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$

Эти шесть функций образуют основу тригонометрии и встречаются повсюду в математике, физике, технике и обработке сигналов.

Метод 1: Единичная окружность (точные значения)

Запомните ключевые углы и их координаты на единичной окружности:

Метод 2: Опорные углы

Для углов за пределами первой четверти:

1. Найдите опорный угол (острый угол к оси $x$)
2. Определите знак по четверти (правило ASTC: All, Sin, Tan, Cos)

Правило ASTC — какие функции положительны:

• Четверть I (0° до 90°): все положительны
• Четверть II (90° до 180°): Sin положителен
• Четверть III (180° до 270°): Tan положителен
• Четверть IV (270° до 360°): Cos положителен

Пример: $\sin(150°)$ — опорный угол $180° - 150° = 30°$. В четверти II синус положителен: $\sin(150°) = +\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Метод 3: Формулы суммы и разности

Для нестандартных углов разложите на известные углы:

$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Пример: $\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Метод 4: Преобразования графиков

Для $y = A\sin(Bx + C) + D$:

• $|A|$ = амплитуда
• $\frac{2\pi}{|B|}$ = период
• $-\frac{C}{B}$ = сдвиг фазы
• $D$ = вертикальный сдвиг

Сравнение: когда использовать каждый метод

• Неверный знак четверти: $\cos(120°) = -\frac{1}{2}$, а не $+\frac{1}{2}$. Всегда проверяйте, какая четверть определяет знак.
• Путают градусы и радианы: $\sin(\pi) = 0$ (радианы), но $\sin(180) \approx -0.80$, если трактовать как 180 радиан. Соблюдайте единообразие единиц.
• Забывают, что tan не определён: $\tan(90°)$ и $\tan(270°)$ не определены (вертикальные асимптоты), а не равны нулю или бесконечности.
• Неправильно применяют формулу суммы: $\sin(A + B) \neq \sin A + \sin B$. Нужно использовать правильное разложение.
• Ошибки опорного угла: опорный угол всегда отсчитывается к оси $x$ (а не к оси $y$) и всегда положителен и остр.