AI Math
Открыть приложение

Калькулятор обратных тригонометрических функций

Вычисляйте arcsin, arccos и arctan с пошаговыми решениями

Перетащите или нажмите , чтобы добавить изображения или PDF

∑Math Input
arcsin(1/2)
arccos(-sqrt(2)/2)
arctan(sqrt(3))
sin(arccos(3/5))

Что такое обратные тригонометрические функции?

Обратные тригонометрические функции обращают стандартные тригонометрические функции. По заданному отношению они возвращают угол:

arcsin⁡(x)=θ  ⟺  sin⁡(θ)=x\arcsin(x) = \theta \iff \sin(\theta) = x
arccos⁡(x)=θ  ⟺  cos⁡(θ)=x\arccos(x) = \theta \iff \cos(\theta) = x
arctan⁡(x)=θ  ⟺  tan⁡(θ)=x\arctan(x) = \theta \iff \tan(\theta) = x

Поскольку тригонометрические функции не взаимно однозначны, мы ограничиваем их области определения, чтобы определить корректные обратные функции:

ФункцияОбласть определенияМножество значений (главные значения)
arcsin⁡(x)\arcsin(x)[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
arccos⁡(x)\arccos(x)[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
arctan⁡(x)\arctan(x)(−∞,∞)(-\infty, \infty)(−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Альтернативные обозначения: sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x), cos⁡−1(x)\cos^{-1}(x), tan⁡−1(x)\tan^{-1}(x) (внимание: sin⁡−1(x)≠1sin⁡x\sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x}).

Ключевые соотношения:

  • arcsin⁡(x)+arccos⁡(x)=π2\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2} для всех x∈[−1,1]x \in [-1, 1]
  • arctan⁡(x)+arccot(x)=π2\arctan(x) + \text{arccot}(x) = \frac{\pi}{2} для всех xx

Обратные тригонометрические функции встречаются в интегрировании (∫11+x2 dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C), геометрии, навигации и физике.

Как вычислять обратные тригонометрические функции

Метод 1: Использование известных значений

Для стандартных значений используйте единичную окружность в обратном направлении:

arcsin⁡(12)=π6потому что sin⁡π6=12\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \quad \text{потому что } \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

Распространённые точные значения:

Входarcsin⁡\arcsinarccos⁡\arccosarctan⁡\arctan
0000π2\frac{\pi}{2}00
12\frac{1}{2}π6\frac{\pi}{6}π3\frac{\pi}{3}—
22\frac{\sqrt{2}}{2}π4\frac{\pi}{4}π4\frac{\pi}{4}—
32\frac{\sqrt{3}}{2}π3\frac{\pi}{3}π6\frac{\pi}{6}—
11π2\frac{\pi}{2}00π4\frac{\pi}{4}
3\sqrt{3}——π3\frac{\pi}{3}

Метод 2: Метод прямоугольного треугольника

Чтобы вычислить композиции вроде cos⁡(arcsin⁡(35))\cos(\arcsin(\frac{3}{5})):

  1. Положите θ=arcsin⁡(35)\theta = \arcsin(\frac{3}{5}), тогда sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5}
  2. Нарисуйте прямоугольный треугольник: противолежащий катет =3= 3, гипотенуза =5= 5
  3. Найдите прилежащий катет =25−9=4= \sqrt{25 - 9} = 4 (теорема Пифагора)
  4. Следовательно cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}

Метод 3: Алгебраические тождества

Полезные тождества для упрощения:

sin⁡(arccos⁡x)=1−x2\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}
cos⁡(arcsin⁡x)=1−x2\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}
tan⁡(arcsin⁡x)=x1−x2\tan(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
sin⁡(arctan⁡x)=x1+x2\sin(\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
cos⁡(arctan⁡x)=11+x2\cos(\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}

Метод 4: Производные обратных тригонометрических функций

Эти важны для математического анализа:

ddxarcsin⁡x=11−x2\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarccos⁡x=−11−x2\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
ddxarctan⁡x=11+x2\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}

Сравнение подходов

МетодЛучше всего дляКлючевой признак
Известные значенияСтандартные отношенияВход 0,12,22,32,10, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1
Прямоугольный треугольникКомпозицииВыражения типа cos⁡(arcsin⁡(⋅))\cos(\arcsin(\cdot))
ТождестваАлгебраическое упрощениеНужно устранить обратную тригонометрию
КалькуляторНестандартные десятичныеТочная форма не ожидается

Типичные ошибки, которых следует избегать

  • Путают sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) с 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}: обозначение sin⁡−1(x)\sin^{-1}(x) означает arcsin, а не косеканс. Используйте контекст или предпочитайте обозначение «arc», чтобы избежать путаницы.
  • Игнорируют диапазоны главных значений: arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}, а не 11π6\frac{11\pi}{6}. Ответ должен быть в определённом диапазоне [−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}].
  • Неправильно применяют сокращение: sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x для x∈[−1,1]x \in [-1,1], но arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x только когда x∈[−π2,π2]x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]. Вне этого диапазона вы получаете опорный угол с соответствующим знаком.
  • Ошибки области определения: arcsin⁡(2)\arcsin(2) и arccos⁡(−3)\arccos(-3) не определены в действительных числах, поскольку их области определения [−1,1][-1, 1].
  • Неверный знак на шаге Пифагора: при использовании метода прямоугольного треугольника убедитесь, что берёте правильный знак, исходя из четверти, подразумеваемой диапазоном главных значений.

Examples

Step 1: Нужно θ∈[0,π]\theta \in [0, \pi], такое что cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}
Step 2: Мы знаем cos⁡π6=32\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Поскольку косинус отрицателен, θ\theta во II четверти
Step 3: θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}
Answer: 5π6\frac{5\pi}{6}

Step 1: Положите θ=arctan⁡43\theta = \arctan\frac{4}{3}, тогда tan⁡θ=43\tan\theta = \frac{4}{3} при θ∈(−π2,π2)\theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
Step 2: Нарисуйте прямоугольный треугольник: противолежащий =4= 4, прилежащий =3= 3, гипотенуза =16+9=5= \sqrt{16 + 9} = 5
Step 3: sin⁡θ=противолежащийгипотенуза=45\sin\theta = \frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}} = \frac{4}{5}
Answer: 45\frac{4}{5}

Step 1: Сначала вычислите sin⁡5π4\sin\frac{5\pi}{4}. Этот угол в III четверти с опорным углом π4\frac{\pi}{4}: sin⁡5π4=−22\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 2: Теперь найдите arcsin⁡(−22)\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}): нужно θ∈[−π2,π2]\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] с sin⁡θ=−22\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Step 3: θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4} (в IV четверти ограниченного диапазона)
Answer: −π4-\frac{\pi}{4}

Frequently Asked Questions

Arcsin(x) отвечает на вопрос «у какого угла синус равен x?» Аналогично для arccos и arctan. Это операции, обратные sin, cos и tan. Например, arcsin(1/2) = 30 градусов (или pi/6 радиан), потому что sin(30 градусов) = 1/2.

Поскольку синус, косинус и тангенс периодичны, каждому выходному значению соответствует бесконечно много углов. Чтобы сделать обратную функцию корректной (один выход на один вход), мы ограничиваемся диапазоном главных значений. Для arcsin это [-pi/2, pi/2], для arccos это [0, pi], а для arctan это (-pi/2, pi/2).

Нет. sin^(-1)(x) означает arcsin(x), обратную функцию. Обратная величина 1/sin(x) записывается как csc(x) (косеканс). Это распространённый источник путаницы из-за неоднозначной записи показателя.

Arcsin и arccos принимают только входы от -1 до 1 включительно, так как синус и косинус никогда не превышают этих границ. Arctan принимает любое действительное число в качестве входа, так как тангенс может давать любое действительное значение.

Related Solvers

Тригонометрический калькуляторКалькулятор синуса, косинуса и тангенсаКалькулятор производныхКалькулятор интегралов
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving